Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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136 Capitolo - 19 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici può avere grado . Si costata anche immediatamente che i polinomi appena ottenuti sono linearmente indipendenti, si possono quindi utilizzare le parole di codice ad essi associate per costruire una matrice generatrice del codice che sarà del tipo: (19.6.3) in grado quindi di generare un codice sistematico con la parte informativa “in coda” anziché “in testa”. Da quanto detto discende che il polinomio di codice associato al polinomio informativo ( ) ( ) è dato da: ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) (19.6.4) Prendiamo adesso in considerazione la matrice (19.6.5) che si ottiene effettuando rotazioni cicliche su ciascuna riga della . Essa ha per righe parole di linearmente indipendenti ed è quindi anch’essa una matrice generatrice. Esempio 19.2 Per costruire un codificatore basato sulla (19.6.4) dobbiamo disporre di un sistema in grado di calcolare il resto della divisione tra due polinomi. Supponiamo di disporre all’istante - esimo del polinomio ( ), e che tale polinomio all’istante - esimo venga aggiornato, per effetto dell’emissione da parte di una sorgente di un simbolo secondo la regola: ( ) ( ) Indichiamo rispettivamente con ( ) e ( ) il resto e il quoto della divisione tra ( )e ( ) che supponiamo monico. Vogliamo calcolare ( ). Risulta: ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) Ma ( ) ha al più grado possiamo quindi ulteriormente scrivere: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) Possiamo quindi facilmente tracciare lo schema di principio mostrato in Fig.E 19.2. Non appena tutti i coefficienti del dividendo, a partire da quello di grado maggiore, saranno immessi nel sistema, sarà Fig.E 19.2 Schema di principio di un sistema che calcola il resto della divisione tra due polinomi successivi passi si presenteranno in uscita i coefficienti del resto. 19.7 - Duale di un codice ciclico Abbiamo mostrato che un codice ciclico ( ) ( ) del polinomio . Esiste quindi un ( ) ( ) tale che: sufficiente aprire l’anello di reazione tramite il deviatore in uscita e nei ( ), ha come generatore un fattore
Codici Ciclici 137 ( ) ( ) ( ) ( ) (19.7.1) ( Abbiamo già visto come ) ( ) possa essere utilizzato come polinomio di parità, ma esso, in quanto fattore di è in grado di generare a sua volta un codice ciclico ( ) anch’esso contenuto in ( ) che viene chiamato (seppur impropriamente) duale di ( ), in quanto le parole di non sono in genere ortogonali a quelle di . Consideriamo due polinomi ( ) ( ) e ( ) ( ). Risulta: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) (19.7.2) Osserviamo che il polinomio ( ) ( ) ha grado al più ( ) ( ) , ne consegue che il coefficiente del termine di grado di ( ) ( ) deve essere nullo. Possiamo quindi scrivere: ∑ (19.7.3) la precedente vale per ogni scelta di ( ) ( ) e ( ) ( ). Essa ci suggerisce come costruire il codice duale propriamente detto che si ottiene ribaltando le parole di . Anche il codice duale propriamente detto è polinomiale il suo polinomio generatore risulta essere: ( ) (19.7.4) una sua matrice generatrice potrebbe essere: [ ] (19.7.5)
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Dipartimento di Ingegneria Elettric
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Capitolo - 2 - Appunti di Teoria de
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Capitolo - 3 LA CODIFICA DI SORGENT
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4.1 - L’Informazione Mutua. Capit
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