Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

118 Capitolo - 15
Se il peso di è pari esisteranno ( ( )
( ) ) possibili sequenze ricevute
( )
che hanno eguale distanza da e . In tale eventualità il decodificatore sceglierebbe
in modo puramente casuale tra e . La probabilità che venga scelto il cammino
sarà in questo caso espressa dalla:
(
( ) ( )
)
( (
( )
)
( ) ( )
)
(( (
( )
))
( )
( )
( ( )) ( ) ( )
(15.2.4)
(15.2.5)
( ) ⌋
( )
∑ ( ( ) ) ( ) ( )
⌊
Esempio 15.1
La probabilità di crossover del BSC con cui può essere schematizzata la parte inclusa nel
poligono tratteggiato in rosso del sistema di trasmissione mostrato in Fig.E 14.1, assumendo che al
bit codificato competa un’energia
e che il rumore gaussiano abbia una densità
spettrale di potenza monolatera , sarà espressa dalla probabilità che il campione in uscita al
filtro adattato per effetto del rumore sia minore di zero, malgrado il bit codificato fosse un uno, o
indifferentemente, dalla probabilità che il succitato campione, per lo stesso motivo, sia maggiore di
zero malgrado il bit codificato inviato fosse uno zero. Nel caso in cui il bit trasmesso sia un uno
avremo
( ) ∫
√
( ) √
√ ∫
√
)
(
√ ) ( √ )
Tenuto conto delle ipotesi fatte sull’energia del bit codificato, se vogliamo fare comparire nella
precedente il rapporto tra l’energia associata al bit informativo e la densità spettrale monolatera di
rumore possiamo scrivere:
Da cui:
√
(√ )
√
Osserviamo che la (15.2.3) e la (15.2.4), dipendono solo dal peso di non dal
numero di rami da cui esso è costituito. In altri termini, tutti gli eventi d’errore di
uguale peso avranno la stessa probabilità di essere erroneamente scelti dal
decodificatore indipendentemente numero di rami in essi contenuti. Sulla base di
quest’ultima osservazione possiamo compattare in un'unica espressione la (15.2.3) e la
(15.2.4), indicando semplicemente con un evento d’errore di peso , ottenendo: