Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

120 Capitolo - 15
∑ ( ) (√ ) (15.2.11)
La precedente, a fronte di un’ulteriore maggiorazione può assumere una forma più
semplice da calcolare. Ricordando infatti che vedi , per argomento non negativo, vale la
disuguaglianza ( )
(vedi (5.9.14), possiamo ancora scrivere:
( ) (√ ) ( ) (15.2.12)
per mezzo della quale otteniamo:
∑ ( ) (√ ) ∑ ( ) ( )| (15.2.13)
Anche nel caso della decodifica Hard possiamo maggiorare ulteriormente la
ricordando la maggiorazione di Bhattacharyya (5.9.10) che ci permette di
scrivere:
( ) ( ) (15.2.14)
Quest’ultima ci permette, partendo dalla (15.2.8) di scrivere:
∑ ( ) ( ) ∑ ( ) ( ) ( ) (15.2.15)
La (15.2.13) e la (15.2.15) possono essere calcolate facilmente, disponendo della
( ) del codice, la (15.2.8) e la (15.2.11) sono dei bound più stretti, ma possono essere
calcolati solo in modo approssimato, entrambe tuttavia sono in genere dominate dal
primo addendo della sommatoria che corrisponde alla distanza libera del codice. Il
primo addendo di ciascuna di esse rappresenta in genere già da solo una maggiorazione
della probabilità d’errore di nodo.
15.3 - Bound sulla probabilità d’errore sul bit informativo.
Al fine di calcolare la probabilità d’errore sul bit d’informazione consideriamo
una porzione di sequenza decodificata ̂ costituita da bit codificati con
(l’apice ha la sola funzione di etichetta). Nella corrispondente porzione di
sequenza decodificata ̂ costituita da bit saranno presenti un certo numero di
bit errati. Osserviamo che la presenza di un bit errato è possibile solo se nella ̂ si
è manifestato un errore di nodo. Sappiamo anche che ad ogni evento d’errore di nodo
corrisponde un ben preciso numero di bit d’informazione errati.