Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

La Trasformata di Fourier Discreta 157
Alla sequenza
possiamo associare il polinomio:
( ) (22.1.7)
lo stesso possiamo fare per la sua DFT , ammesso che esista, definendo in
modo analogo un polinomio ( ) di grado al più . Osservando le (22.1.4) ci
rendiamo conto che risulta:
( )
( ) ( )
(22.1.8)
Dalle precedenti discende che se allora ( ) ha come radice, o, che è lo
stesso, ha il polinomio
su ( ) se qualche .
tra i suoi fattori. Analoghe considerazioni possono farsi
Consideriamo una sequenza non banale cui corrisponda un ( )di grado
non maggiore di . Detto polinomio può avere al più radici che
qualora coincidessero tutte con le , comporterebbero l’annullamento di non più di
elementi della che conseguentemente avrebbe almeno elementi
non nulli. Applicando la (22.1.5) possiamo facilmente concludere che è in realtà
sufficiente che in una sequenza non banale siano nulli elementi consecutivi
(modulo ), affinché la sequenza trasformata, o antitrasformata abbia almeno
elementi non nulli.
22.2 - DFT e codici ciclici
Le considerazioni fatte dopo la (22.1.8) ci permettono di introdurre una
definizione alternativa per i codici ciclici. Possiamo infatti affermare che
Definizione 22.1
Un codice ciclico ( ) è costituito dal sottoinsieme di la cui DFT si annulla in
posizioni prefissate.
La definizione appena data comporta ovviamente l’esistenza della DFT, deve
esistere cioè un elemento di ordine
per
⊗ , che consenta di calcolarla, ne discende
che deve essere un sottomultiplo di , cioè una radice -esima dell’unità di
. Se vogliamo che le parole di codice abbiano la massima lunghezza l’elemento
scelto per il calcolo della DFT dovrà essere primitivo. In questo caso avremmo
. Il fatto che la Definizione 22.1 sia equivalente alla Definizione 19.1
risulta evidente tenendo conto della (22.1.8) che ci permette di affermare che ogni
polinomio di un codice costruito sulla base della Definizione 22.1 è multiplo di uno