Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Codici Ciclici 133
Teorema 19.1
Condizione necessaria e sufficiente affinché un codice sia ciclico è che
ideale di .
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( ) sia un
19.3 - Polinomio generatore di un codice ciclico
Ci convinciamo facilmente del fatto che il sottoinsieme di costituito
dall’unione di tutti i laterali di che appartengono ( ) , in virtù della
(19.2.2), è un ideale, ma tutti gli ideali di sono principali (vedi Teorema 18.1),
esiste cioè un polinomio di grado minimo che li genera, tale polinomio apparterrà
evidentemente a ( )
( )
in particolare potremmo scegliere in quest'ultimo
l’unico polinomio monico di grado minimo, sia ( ). Rileviamo che il grado di ( )
dovrà necessariamente essere per un codice .
Abbiamo visto che ( ) , quindi, in virtù del Teorema 18.2, ( )
deve essere un divisore di , ne discende che un codice ciclico esiste se e
solo se pensato come polinomio a coefficienti nel campo si può scomporre
nel prodotto tra due polinomi uno dei quali di grado .
19.4 - Polinomio di parità di un codice ciclico
Nel paragrafo precedente abbiamo visto che se
( ) ( ) genera un codice
ciclico ( ), allora deve esistere
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (19.4.1)
D’altro canto nel precedente capitolo abbiamo visto che ogni parola di un codice
polinomiale può essere scritta nella forma:
( ) ( ) ( ) ( ) (19.4.2)
dove a x è un qualsiasi polinomio appartenente a
( )
. Risulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
(19.4.3)
( )( ) ( )
Poiché la precedente è vera per tutti e soli i polinomi di codice, ne discende che
( ) ( ), o un qualunque altro polinomio di che lo contenga come fattore senza
contenere , può essere utilizzato per effettuare il controllo di parità nel caso in
cui si intenda utilizzare il codice esclusivamente per la rivelazione dell’errore.
(
Il polinomio ( )( ) ) ( ) ( ) ha tutti i coefficienti di grado
maggiore di e minore di nulli. Questa osservazione ci permette di scrivere le