Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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124 Capitolo - 16 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (16.2.3) e ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∑ (16.2.4) Nella precedente la sommatoria va ovviamente calcolata secondo le regole di , come pure il prodotto al suo interno. In sostanza abbiamo appena introdotto in l’addizione e la moltiplicazione. Rispetto all’addizione è facile verificare che è un gruppo commutativo, inoltre la moltiplicazione tra polinomi in è commutativa e distributiva rispetto all’addizione. è pertanto un anello commutativo, con identità, che, ovviamente, coincide con l’identità del campo , che indicheremo con . Osserviamo che il prodotto tra polinomi non nulli è un polinomio non nullo. Si ottiene il polinomio nullo se e solo se uno almeno dei due moltiplicandi è il polinomio nullo. Vale cioè anche la legge di annullamento del prodotto. Quanto detto comporta tra l'altro che i polinomi sono linearmente indipendenti su . 16.3 - Spazi di polinomi Consideriamo adesso il sottoinsieme ( ) di costituito da tutti i polinomi di grado minore di . La somma di due elementi di ( ) è ancora un elemento di ( ) . Inoltre moltiplicando un qualunque elemento di ( ) per un elemento di , che coincide con ( ) , otteniamo ancora un elemento di ( ) . ( ) è quindi uno spazio vettoriale su e che la sua dimensione è in quanto generabile tramite i suoi elementi linearmente indipendenti . Ci si convince facilmente che detto spazio vettoriale è isomorfo allo spazio costituito da tutte le -uple ordinate di elementi di , basta infatti associare al ( polinomio ) ( ) ( ) , l’elemento a se , ovvero l’elemento se
Capitolo - 17 CODICI POLINOMIALI ( Dati due interi e , scegliamo un polinomio ) ( ) che ( chiameremo polinomio generatore, tramite ) ( ) possiamo individuare il sottoinsieme ( ) che contiene i polinomi che si ottengono da tutti i possibili ( prodotti tra ) ( ) e i polinomi ( ) ( ) . Consideriamo adesso due elementi ( ) e ( ) appartenenti a , quindi esprimibili rispettivamente nella forma: Comunque scelti ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (17.1.1) risulta: ( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) (17.1.2) La precedente ci mostra che ( ) è un sottospazio di sottogruppo. ( ) , quindi ne è anche un Il corrispondente sottoinsieme di è quindi un codice di gruppo. Abbiamo già detto (vedi § 8.2 - ) che la distanza di Hamming tra parole di è una metrica, la distanza minima di è data dalla sua parola di peso minimo cioè dalla parola che ha il minor numero di lettere diverse da , che non è necessariamente unica. Ci si convince anche facilmente del fatto che se s’intende impiegare un codice polinomiale per la rilevazione d’errore è sufficiente dividere il polinomio corrispondente alla parola ricevuta per il polinomio generatore, e verificare che il resto di tale divisione sia il polinomio nullo, per essere certi che la parola ricevuta appartiene al codice. Consideriamo adesso il caso dei codici polinomiali sul campo essi sono certamente codici binari a blocchi, nel senso che ammettono una matrice generatrice ( che si può facilmente costruire a partire da ) ( ). Come righe di tale matrice si possono scegliere infatti le stringhe dei coefficienti dei polinomi di codice ottenuti moltiplicando il polinomio generatore per i polinomi . Viceversa non è vero in generale che i codici lineari a blocchi siano polinomiali, al fine di verificare se un codice lineare a blocchi è polinomiale è sufficiente verificare che tutti i polinomi associati alle righe della matrice generatrice ammettano un fattore comune di grado .
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8 Capitolo - 1 - Appunti di Teoria
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Capitolo - 2 - Appunti di Teoria de
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Capitolo - 3 LA CODIFICA DI SORGENT
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