Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Codici Lineari a Blocchi 85
10.6 - Capacità di rivelazione di un codice lineare a blocco
Per la capacità di rivelazione di un codice lineare a blocco vale il seguente
teorema:
Teorema 10.1
Un decodificatore a massima verosimiglianza per un codice lineare non è in grado di
rivelare tutti e soli gli eventi d’errore che coincidono con una parola di codice.
Dimostrazione:
Se il canale fa sì che ad una parola di codice venga aggiunto un pattern d’errore
che coincide con una parola di codice in ingresso al decodificatore si presenterà la
parola , ma il codice è lineare quindi è una parola di codice pertanto
l’errore non sarà rivelato.
Viceversa se un pattern d’errore non viene rivelato, allora deve esistere una
parola di codice tale che essendo è la parola trasmessa. L’eguaglianza
appena scritta comporta:
pertanto
è una parola di codice.
(10.6.1)
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10.7 - Probabilità di non rivelazione d’errore di un codice lineare
Ci proponiamo di calcolare la probabilità che un codice lineare, impiegato per la
sola rivelazione d’errore, non ne riveli la presenza nella parola ricevuta, sotto l’ipotesi
che il codice venga utilizzato su un canale BSC e che il decodificatore sia del tipo MV.
Sappiamo che (vedi Teorema 10.1) gli unici pattern d’errore non rivelati sono
quelli che coincidono con una parola di codice. Osserviamo che la probabilità che si
presenti un dato pattern d’errore ̂ dipende esclusivamente dal suo peso e vale in
particolare:
̂ ( ) (10.7.1)
Tra tutti gli ( ) possibili pattern d’errore di peso non verranno rivelati soltanto quelli
che coincidono con una parola di codice, cioè tanti quante sono le parole di codice di
quel peso. Poiché i pattern d’errore sono tra loro indipendenti, la probabilità ( )
che un errore non venga rivelato dal codice vale:
( ) ∑ ( ) ( ) (10.7.2)