Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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̂ 108 Capitolo - 14 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici segue che la generica , condizionata all’invio di è la realizzazione di una variabile aleatoria gaussiana a media e varianza . Inoltre Le condizionate all’invio di una data saranno mutualmente statisticamente indipendenti. In Fig.E 14.1 Abbiamo a questo punto indicato due alternative: la prima (ramo superiore) consiste nell’utilizzare un rivelatore a soglia che fornirebbe in uscita una sequenza binaria stimata , da dare in “pasto” ad un decodificatore che in questo caso sarebbe di tipo hard; la seconda (ramo inferiore in Fig.E 14.1) utilizzare un decodificatore in grado di utilizzare direttamente la in questo caso il nostro decodificatore sarebbe di tipo soft. Indipendentemente dal tipo di decodificatore viene prodotta una sequenza informativa stimata ̂ ottenuta in corrispondenza a una sequenza codificata , cioè una sequenza che corrisponde ad un percorso sul trellis del codificatore. ̂ Ovviamente non è detto che i due decodificatori producano la stessa ̂ . In quel che segue supporremo di voler decodificare una sequenza di lunghezza finita. Supporremo anche che il decodificatore hard o soft che sia: - conosca la struttura del codificatore convoluzionale; - conosca lo stato iniziale in del codificatore; - conosca lo stato finale fin del codificatore, Osserviamo che la conoscenza dello stato finale da parte del decodificatore, implica che il codificatore abbia provveduto ad aggiungere alla sequenza informativa un suffisso in grado di condurre il codificatore in uno stato assegnato. Va da se che i simboli del suffisso non conterranno informazione e comporteranno quindi un peggioramento dell’effettivo rate del codice. Tale peggioramento sarà tanto meno rilevante quanto più lunghe saranno le sequenze da trasmettere. In linea di principio la decodifica MV hard della sequenza costituita da -uple di bit in uscita al rivelatore a soglia è semplice, è, infatti, sufficiente scegliere la sequenza ammissibile 2 che ha la minima distanza di Hamming dalla generata dal rivelatore, scegliendo eventualmente a caso qualora dovesse esservi più d’una sequenza ammissibile con lo stesso requisito. Analogamente la decodifica MV soft consisterebbe nello scegliere, tra le sequenze ammissibili, quella cui è associata una sequenza che, pensata come un punto di , ha la minima distanza Euclidea dalla sequenza 2 per sequenza ammissibile intendiamo una sequenza associabile ad un percorso sul trellis che abbia inizio in e termini in .
L’Algoritmo di Viterbi 109 corrispondente al s egnale ricevuto, rappresentata nello stesso spazio. Va da se che, in questo caso, la probabilità che due sequenze ammissibili abbiano la stessa distanza da quella ricevuta è nulla. Già questa sola considerazione ci fa intuire che l’impiego della decodifica soft migliora le prestazioni del sistema in termini di probabilità d’errore. Al crescere della lunghezza dei messaggi da decodificare, appare chiaro che l’approccio sopra descritto seppur formalmente corretto diventa improponibile in pratica, sia per la crescita esponenziale del numero di sequenze ammissibili, sia per il ritardo che un decodificatore siffatto comporterebbe. Sarebbe infatti indispensabile attendere la ricezione dell’intera sequenza prima che il processo di decodifica abbia inizio. 14.2 - L’algoritmo di Viterbi In questo paragrafo descriveremo un algoritmo di decodifica che, con modifiche non concettuali, può essere impiegato sia per decodificatori hard che soft dei codici convoluzionali. In quel che segue chiameremo: metrica di ramo la distanza di Hamming, o il quadrato della distanza Euclidea, tra gli bit codificati che etichettano il ramo e la porzione di sequenza ricevuta corrispondente precisamente ∑ ̆( ) ( ) (14.2.1) ∑ ( ) ( ) { (ad apice abbiamo indicato la sezione di trellis cui il ramo appartiene ed i pedici, individuano lo stato di partenza e quello di arrivo del ramo in esame); percorso una sequenza ininterrotta di rami che origina in in lunghezza del percorso il numero di rami compongono il percorso metrica di percorso la somma delle metriche di ramo che compongono il percorso; cammino una sequenza ininterrotta di rami del tipo lunghezza del cammino il numero di rami compongono il cammino metrica di cammino la somma delle metriche dei rami che lo compongono; Abbiamo detto che il decodificatore conosce lo stato iniziale in cui si trova il codificatore all’arrivo di una sequenza informativa, supponiamo sia lo stato zero. Al primo passo, osservando la sequenza ricevuta, il decodificatore può etichettare ciascuno
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