Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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146 Capitolo - 20 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici Vogliamo costruire un campo con elementi . Per farlo abbiamo bisogno di individuare un polinomio irriducibile a coefficienti in GF di quarto grado. Prendiamo quindi in considerazione il polinomio . Detto polinomio non è divisibile x x x x α 0010 per poiché non è omogeneo né per poiché x x x x α 0100 ha un numero dispari di coefficienti non nulli. x x x x quindi non è divisibile neppure per polinomi di α 1000 terzo grado. Esso non è divisibile neppure per i x x x x α 1001 polinomi di secondo grado , , x x x x x α 1011 , pertanto è irriducibile. x x x x x x α 1111 Dovremmo a questo punto verificare che si tratta di un polinomio primitivo, accertandoci che x x x x x α 0111 non è un fattore di con . Tale x x x x x x α 1110 verifica è piuttosto noiosa, d’altro canto, qualora il x x x x α 0101 polinomio in parola non fosse primitivo lo scopriremmo facilmente in quanto il polinomio non sarebbe un elemento primitivo per il campo, esso a- x x x x x α 1010 x x x x x α 1101 vrebbe cioè un ordine inferiore a . x x x x α 0011 A partire dal polinomio che associamo all’elemento x x x x x α 0110 del campo cominciamo a riempire la Tabella 20.2 con il resto della divisione tra le x x x x x α 1100 successive potenze di e il polinomio x x x α 0001 . Come si può notare dalla Tabella 20.2 il x x α 0000 polinomio è primitivo in quanto l’ordine di . Tabella 20.2 - possibile rappresentazione di Nella terza colonna della Tabella abbiamo indicato GF la rappresentazione binaria dei polinomi. Abbiamo a questo punto generato gli elementi del campo. Per operare più rapidamente su di esso possiamo costruire la Tabella 20.3 che riassume tutti i possibili risultati di somme e prodotti tra gli elementi del campo. È opportuno sottolineare che tale tabella dipende dal polinomio irriducibile scelto nel senso che se avessimo utilizzato un polinomio irriducibile diverso avremmo ottenuto una diversa rappresentazione di e conseguentemente o α α α α α α α α α α α α α α e o o o o o o o o o o o o o o o o o o o α α o α α α α α α α α α α α α α e α α α α α o α α α α α α α α α α α e α α α α α α α o α α α α α α α α α e α α α α α α α α e o α α α α α α α e α α α α α α α α α α α o α α α α α e α α α α α α α α α α α α α o α α α e α α α α α α α α α α α α α α α o α e α α α α α α α α α α α α α α α e α o α α α α α α α α α α α α e α α α α α α o α α α α α α α α α α α α α α e α α α α o α α α α α α α α α α α α α α α α α α α o α α α α α α α α e α α α α α α α α α α o α α α α α α α α α α α α α e α α α α α o α α α α α α α α α α α α α α α α e α α o α α α e e α α α α α α α α α α α α α α o e e o α α α α α α α α α α α α α α e Tabella 20.3 Addizioni e moltiplicazioni in GF una Tabella 20.3 diversa. Un modo alternativo per fare le somme in un campo finito è quello di fare riferimento ai logaritmi di Zech. Supponiamo di voler calcolare la somma di due elementi siano ed entrambi diversi da possiamo scrivere:
Campi Finiti 147 ( ) (20.8.7) Osserviamo che il termine in parentesi appartiene ovviamente al campo e si può quindi esprimere k mod z(k) sotto forma esponenziale e notiamo inoltre che dipende esclusivamente dalla differenza tra gli esponenti , che va valutata modulo la cardinalità di , ovvero . Possiamo quindi scrivere ( ) , convenendo che ( ) qualora dovesse risultare , (in tutte le estensioni di ogni elemento ha se stesso come opposto, ma non è vero in generale!). I possibili valori assunti dalla quantità in parentesi si possono leggere nella Tabella 20.3. e possiamo scrivere ( ) (20.8.8) Tabella 20.4 logaritmo di Zech per la rappresentazione di GF dell’Esempio 20.2 GF x x x x α 0010 x x x x α 0100 x x x x α 1000 x x x x α 0011 x x x x x α 0110 x x x x x α 1100 x x x x x α 1011 x x x x α 0101 x x x x x α 1010 x x x x x α 0111 x x x x x x α 1110 x x x x x x α 1111 x x x x x α 1101 x x x x α 1001 x x x α 0001 x x α 0000 Tabella 20.5 – altra possibile rappresentazione di GF ( ) La funzione ( ) è detta logaritmo di Zech. Essa, ovviamente, dipende sia dalla scelta del polinomio irriducibile, sia da quella dell’elemento primitivo. Il vantaggio nell’utilizzazione del logaritmo di Zech, anziché della Tabella 20.3, consiste nel fatto che la tabella che si ottiene è più compatta essendo costituita solo da valori contro i ( ) della parte additiva della Tabella 20.3 che diventa ben presto ingestibile al crescere della cardinalità del campo. Si osservi che qualora avessimo utilizzato il polinomio , anch’esso irriducibile e primitivo, per generare avremmo ottenuto la rappresentazione di Tabella 20.5 per la quale la Tabella 20.3 e la Tabella 20.4 dovrebbero essere riscritte. Il logaritmo di Zech si presta inoltre meglio ad essere implementato in un programma di calcolo.
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