Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

146 Capitolo - 20 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
Vogliamo costruire un campo con elementi . Per farlo abbiamo bisogno di individuare
un polinomio irriducibile a coefficienti in
GF
di quarto grado.
Prendiamo quindi in considerazione il polinomio
. Detto polinomio non è divisibile
x x x x α 0010 per poiché non è omogeneo né per poiché
x x x x α 0100 ha un numero dispari di coefficienti non nulli.
x x x x quindi non è divisibile neppure per polinomi di
α 1000
terzo grado. Esso non è divisibile neppure per i
x x x x α 1001 polinomi di secondo grado , ,
x x x x x α 1011 , pertanto è irriducibile.
x x x x x x α 1111 Dovremmo a questo punto verificare che si
tratta di un polinomio primitivo, accertandoci che
x x x x x α 0111
non è un fattore di con . Tale
x x x x x x α 1110 verifica è piuttosto noiosa, d’altro canto, qualora il
x x x x α 0101 polinomio in parola non fosse primitivo lo scopriremmo
facilmente in quanto il polinomio non sarebbe
un elemento primitivo per il campo, esso a-
x x x x x α 1010
x x x x x α 1101
vrebbe cioè un ordine inferiore a .
x x x x α 0011 A partire dal polinomio che associamo all’elemento
x x x x x α 0110
del campo cominciamo a riempire la
Tabella 20.2 con il resto della divisione tra le
x x x x x α 1100
successive potenze di e il polinomio
x x x α 0001
. Come si può notare dalla Tabella 20.2 il
x x α 0000 polinomio è primitivo in quanto l’ordine di .
Tabella 20.2 - possibile rappresentazione di Nella terza colonna della Tabella abbiamo indicato
GF
la rappresentazione binaria dei polinomi.
Abbiamo a questo punto generato gli elementi
del campo.
Per operare più rapidamente su di esso possiamo costruire la Tabella 20.3 che riassume tutti i
possibili risultati di somme e prodotti tra gli elementi del campo. È opportuno sottolineare che tale
tabella dipende dal polinomio irriducibile scelto nel senso che se avessimo utilizzato un polinomio
irriducibile diverso avremmo ottenuto una diversa rappresentazione di e conseguentemente
o α α α α α α α α α α α α α α e
o o o o o o o o o o o o o o o o o o o
α α o α α α α α α α α α α α α α e α α
α α α o α α α α α α α α α α α e α α α
α α α α o α α α α α α α α α e α α α α
α α α α e o α α α α α α α e α α α α α
α α α α α α o α α α α α e α α α α α α
α α α α α α α o α α α e α α α α α α α
α α α α α α α α o α e α α α α α α α α
α α α α α α α e α o α α α α α α α α α
α α α e α α α α α α o α α α α α α α α
α α α α α α e α α α α o α α α α α α α
α α α α α α α α α α α α o α α α α α α
α α e α α α α α α α α α α o α α α α α
α α α α α α α α e α α α α α o α α α α
α α α α α α α α α α α α e α α o α α α
e e α α α α α α α α α α α α α α o e e
o α α α α α α α α α α α α α α e
Tabella 20.3 Addizioni e moltiplicazioni in GF
una Tabella 20.3 diversa. Un modo alternativo per fare le somme in un campo finito è quello di fare
riferimento ai logaritmi di Zech. Supponiamo di voler calcolare la somma di due elementi siano
ed entrambi diversi da possiamo scrivere: