Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

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74 Capitolo - 9 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici Definizione 9.3 - decodificatore Dato un codice binario a blocchi , il decodificatore è un’applicazione che sulla base di un criterio prefissato, ha il compito di associare ad ogni elemento di che si presenti all’uscita del canale l’elemento di che verosimilmente era stato immesso nel codificatore posto all’ingresso del canale stesso. *********** Quanto appena detto rende chiaro che più che di codici bisognerebbe parlare di sistemi di codifica-decodifica, sia perché uno stesso codice (in quanto sottoinsieme di ) potrebbe essere ottenuto con codificatori diversi, sia perché potrebbe essere decodificato con decodificatori basati su criteri diversi. Nella pratica in effetti quando si parla di codice ci si riferisce indifferentemente, capiterà anche noi, sia a che a , lasciando al contesto l’onere di rendere chiaro al lettore a cosa si stia effettivamente facendo riferimento. Appare in conclusione chiaro che un sistema di codifica è in realtà completamente definito solo dalla terna . La capacità di correzione di un codice è in pratica affidata alla ridondanza più o meno oculatamente introdotta dal codificatore, ne discende che di regola e che il codificatore è un’applicazione iniettiva. Altrettanto evidente è che, se il codice è non ambiguo, il criterio adottato per la scelta del decodificatore deve necessariamente essere tale che la restrizione di a coincida con l’applicazione inversa della restrizione di a . 9.2 - Utilità della codifica di canale La scelta del codice, e quella del decodificatore possono avere un considerevole impatto sulle prestazioni del sistema di trasmissione in termini di probabilità d’errore e di complessità del sistema. Va anche sottolineato che, per fissato codice, possono essere individuati diversi decodificatori. Per taluni sistemi può essere più qualificante ottimizzare la probabilità d’errore sul singolo bit informativo, per altri quella sul simbolo trasmesso, nella scelta del decodificatore se ne dovrebbe tener conto. Un altro elemento da considerare nella scelta del sistema di codifica è il tipo di canale, che può essere il classico AWGN, un canale dotato di memoria, con conseguente presenza d’interferenza intersimbolica, o un canale che introduce disturbi di tipo burst, cioè disturbi che seppur di breve durata tendono a coinvolgere più simboli consecutivi.
Codici Binari a Blocchi 75 Non si può nemmeno trascurare tra i parametri da tenere in considerazione la complessità della decodifica. Scegliere ad esempio un algoritmo di decodifica subottimo, comporta in genere un degrado delle prestazioni, detto degrado, però, potrebbe essere ampiamente ripagato da una significativa riduzione della complessità e quindi dei costi, ovvero potrebbe essere una scelta obbligata da limiti tecnologici contingenti. In particolare per il momento faremo riferimento a un sistema che trasmette su un BSC (Binary Symmetric Channel) privo di memoria. I simboli che costituiscono la generica parola di codice vengono quindi inviati indipendentemente sul canale e ciascuno di essi avrà una probabilità di essere rivelato in modo errato, pertanto in uscita al canale avremo un elemento di che non è certo corrisponda all’elemento inviato. La probabilità di ricevere una parola di correttamente sarà data da ( ) ad esempio con e avremo conseguentemente la probabilità di ricevere una parola non corretta vale , tale probabilità è in realtà scomponibile nella somma di tante probabilità d’eventi disgiunti, precisamente eventi del tipo: “nella parola ricevuta sono presenti esattamente errori”. La probabilità che la parola ricevuta non sia corretta si può quindi anche scrivere nella forma: ∑ ( ) ( ) (9.2.1) dove il - esimo addendo esprime la probabilità che nella parola ricevuta siano presenti esattamente t errori. La probabilità che la parola contenga almeno due errori si può pertanto scrivere anche nella forma: ∑ ( ) ( ) (9.2.2) nel nostro esempio tale probabilità si ridurrebbe a . Quanto detto mostra come il contributo alla probabilità dell’errore singolo sia di fatto dominante essendo gli addendi della (9.2.1) rapidamente decrescenti al crescere di 1 . Disporre di un codice in grado di correggere anche un numero limitato di errori in una parola ricevuta sembrerebbe pertanto essere una scelta quasi obbligata, in realtà bisogna anche tener presente che le capacità correttive di un codice comportano 1 Per verificarlo è sufficiente esprimere ( ) nella forma ( ⁄ ) ( ) ed osservare che se risulta ( ) , pertanto ( ) è una funzione decrescente di t .
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