Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

58 Capitolo - 6 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
Definizione 6.1
Un sottoinsieme di uno spazio vettoriale su o su è convesso se comunque presi
due suoi elementi e un reale non negativo non maggiore di risulta:
( ) A (6.2.1)
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La precedente in sostanza ci dice che insieme è convesso se contiene tutte le
corde che uniscono coppie di suoi elementi. Un esempio di regione convessa in
l’insieme di tutte le possibili distribuzioni di massa di probabilità di una variabile
aleatoria discreta che assume valori appartenenti ad un
insieme di cardinalità . Ad esempio in tale
regione è costituita dal segmento della retta
appartenente al primo quadrante. Nel caso di
Fig.E 6.1) da tutti i punti del piano
coordinate non negative.
È facile convincersi del fatto che:
è
(vedi
- l’intersezione (anche infinita) d’insiemi convessi
e convessa
- l’insieme ottenuto moltiplicando tutti gli elementi di un convesso per uno scalare è
convesso.
- è convesso l’insieme che ha per elementi tutte le possibili somme tra elementi
appartenenti a due insiemi convessi.
Definizione 6.2
Una funzione ( ) a valori in si dice concava su un sottoinsieme convesso A del
suo dominio se comunque presi due elementi x , x appartenenti ad e un reale non
negativo
Fig.E 6.1
risulta:
1 2
di
Se risulta
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) (6.2.2)
( ) ( ) ( ) ( ( ) ) (6.2.3)
la funzione si dice strettamente concava
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La definizione di funzione convessa è uguale alla precedente salvo il fatto che le
diseguaglianze cambiano di verso.