Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

72 Capitolo - 8 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
ed osservare che tutti gli addendi delle sommatorie che compaiono nella precedente
sono non negativi, pertanto è sufficiente verificare che la (8.1.3) sia soddisfatta
addendo per addendo, fatto questo facilmente verificabile effettuando delle prove
esaustive.
La massima distanza possibile tra due parole di vale e si ottiene in
corrispondenza a coppie di parole che siano una la negata dell’altra, cioè ottenute
mutando tutti i bit uno in zero e viceversa.
La norma di un elemento di viene denominato peso della parola e coincide
con il numero di bit uno presenti nella parola.
La norma e la metrica appena introdotte sono tra loro coerenti, infatti la distanza
tra due elementi coincide con la norma della differenza tra di essi. Ricordiamo che in
addizione e sottrazione coincidono, in quanto ogni elemento è l’opposto di se
stesso.
8.2 - Generalizzazione della distanza di Hamming
Dato un insieme di cardinalità consideriamo l’insieme A . Anche su detto
insieme si può introdurre la distanza di Hamming tra due suoi elementi, che anche in
questo caso è espressa dal numero di simboli corrispondenti diversi tra loro. La
distanza tra due elementi di A è quindi al più .
Si può verificare che la distanza di Hamming è una metrica su A . Essa è non
negativa, nulla se e solo se i due elementi sono lo stesso elemento, la verifica della
validità della disuguaglianza triangolare può essere effettuata analizzando tutti i casi
possibili.
Fissato un elemento di A ed un naturale esistono ( )( ) elementi
di A a distanza da . Potremmo dire che detti elementi giacciono sulla superficie di
una sfera di raggio centrata in . La sfera appena citata contiene esattamente
∑ ( )( ) elementi. Il numero di tali elementi, per analogia, costituisce il “volume”
di detta sfera.
Qualora A fosse anche uno spazio vettoriale, tramite la distanza di Hamming si
potrebbe individuare un “peso” per ogni elemento di A espresso dalla distanza
dell’elemento dall’origine dello spazio, tale peso costituirebbe una possibile norma per
A .