Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 21
CODICI BCH
21.1 - Codici BCH
Supponiamo di voler generare un codice polinomiale con parole di lunghezza
i
cui simboli appartengano ad un campo finito
che abbia una distanza minima non
inferiore a .
Un modo per farlo è quello di scegliere un’estensione di di grado con un
numero di elementi pari a , sia . In detto campo sceglieremo un elemento
primitivo e costruiremo il polinomio ( ) di grado minimo che ha come
radici gli elementi dell’insieme con . Detto
polinomio sarà evidentemente il minimo comune multiplo tra i polinomi minimali
associati agli .
Affermiamo che un polinomio ( ) così costruito è in grado di generare un
codice con distanza minima non inferiore a . Per provarlo osserviamo che l’insieme
delle radici di ogni polinomio associato ad una parola di codice conterrà l’insieme
. Affinché un codice abbia distanza minima pari almeno a
non devono esistere parole di codice, ad eccezione di quella nulla, che abbiano meno di
simboli diversi da .
Supponiamo per assurdo che un codice generato nel modo anzidetto non rispetti
questa condizione, in questo caso esisterà almeno una parola di codice individuata da
un polinomio del tipo:
( ) (21.1.1)
Essendo ( ) un polinomio di codice l’insieme delle sue radici conterrà l’insieme
devono quindi essere contemporaneamente soddisfatte le equazioni:
{
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Abbiamo così ottenuto un sistema lineare ed omogeneo di
incognite.
La matrice dei coefficienti del sistema di cui sopra è:
equazioni in
(21.1.2)