Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 20
CAMPI FINITI
20.1 - Polinomi irriducibili e campi ad essi associati
Definizione 20.1
(
Diciamo che un polinomio ) ( ) di grado non inferiore a 1 è irriducibile se:
( ) (
( ) ) (
( ) ) ( ) (20.1.1)
Ovviamente tutti i polinomi di primo grado sono irriducibili. In 2 . Anche il
polinomio è irriducibile esso infatti non è divisibile né per né per ,
che sono tutti e soli i polinomi di primo grado appartenenti a 2 . Non sono
necessarie altre verifiche in quanto le eventuali fattorizzazioni devono comunque
contenere un polinomio di primo grado. Il polinomio è irriducibile in ,
ma pensato come elemento di non lo è
Vale il seguente teorema:
Teorema 20.1
(
Se ) ( ) è un polinomio irriducibile di
(
dall’ideale
) ( ) è un campo.
allora il gruppo quoziente individuato
Dimostrazione:
Sappiamo già che
( ) ( ) è un anello commutativo con identità, quindi
dobbiamo solo verificare che per ogni suo elemento, fatta eccezione per
( ) ( ) ,
esiste un inverso.
Osserviamo che
( ) ( ) non coincide con . Se così non fosse, esisterebbe
( )
( ) ( ) ( ) , ma la precedente può essere soddisfatta solo se
(
, contro l’ipotesi che ) ( ) è irriducibile, quindi il suo grado non può essere
inferiore ad . Possiamo pertanto affermare che
( ) ( ) contiene almeno un
polinomio ( ) ( ) ( ) .
Consideriamo adesso l’insieme
{ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) ( ) (20.1.2)
si constata facilmente che è un ideale di , ma (vedi Teorema 18.1) tutti gli ideali
di sono principali, deve pertanto esistere in un polinomio ( ) ( ) tale che
risulti
( ) ( ) .