Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Campi Finiti 141
ma è un campo vale quindi la legge di annullamento del prodotto, quindi o o
. ( ) sarebbe quindi il minimo tra ed e non . Ne segue che ( ) deve
essere un primo.
Osserviamo che per ogni elemento di si può scrivere ⊗ , da cui:
2
( ⊗ ) ( ⊗ ) ⊗( ) ⊗ 2 (20.3.2)
più in generale ⊗ , ma ⊗ solo se , ovvero se ,
possiamo quindi concludere che tutti gli elementi diversi da di un campo finito hanno
lo stesso ordine rispetto alla somma, e che tale ordine è un primo risulta cioè:
(20.3.3)
20.4 - Ordine di un campo finito
Consideriamo un campo , ed un suo sottocampo , in questo caso diremo che
è un’estensione di . Si constata che ha la struttura di spazio vettoriale sul campo ,
se la dimensione di questo spazio è finita è detta grado di su .
Vale il seguente teorema:
Teorema 20.2 - Ordine di un campo finito
L’ordine di un campo finito o è un primo, o è una potenza (intera) di un primo.
Dimostrazione:
Abbiamo visto che l’ordine dell’elemento e di un qualsiasi campo
è un primo p , si
verifica facilmente che l’insieme
2 3
(20.4.1)
é un campo (isomorfo a ) quindi è un sottocampo non necessariamente proprio (in
quanto potrebbe coincidere con ) di .
D’altro canto, ha la struttura di spazio vettoriale sul campo e la sua
dimensione deve necessariamente essere finita, essendo finito per ipotesi.
Un qualsiasi elemento di potrà essere quindi espresso in modo univoco come
combinazione lineare, con coefficienti appartenenti a , di elementi che costituiscano
una base per , cioè che siano linearmente indipendenti su . Osservando che
esistono esattamente combinazioni lineari distinte si conclude che l’ordine di se
non è primo è una potenza di un primo.
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Quale che sia il campo finito , il campo generato dalla sua unità
moltiplicativa è detto sottocampo primo o fondamentale. Esso è contenuto in tutti i