Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

128 Capitolo - 18 - Appunti di Teoria dell’Informazione e Codici
Abbiamo detto che un ideale è un sottogruppo di
, quindi definisce un gruppo
quoziente ⁄ , i cui elementi sono l’ideale stesso, che ne costituisce l’elemento neutro,
e tutti i suoi laterali in , che indicheremo con . Con questa notazione risulta:
( )
⊗ ( ⊗ )
(18.2.2)
Osserviamo che le precedenti sono indipendenti dalla scelta dei rappresentanti di
laterale. Si può anche verificare che ⁄ è come
un anello commutativo con identità.
Detto anello quoziente di rispetto a . Dalla seconda delle (18.2.2) si deduce
facilmente che l’identità moltiplicativa è il laterale che si può indicare con , cioè
quello che contiene l’identità moltiplicativa di
Osserviamo che comunque scelto un elemento di , l’insieme ⊗
è un ideale, infatti ( ⊗ ) ( ⊗ ) ⊗ ( ) , inoltre indicando con
, l’opposto di , ⊗ ( ) e risulta ( ⊗ ) ⊗ ( ) ⊗ ( ( )) ,
pertanto è un sottogruppo di . Ogni ideale generato da un elemento di è detto
ideale principale.
Vale il seguente teorema:
Teorema 18.1
Tutti gli ideali dell’anello dei polinomi su un campo sono principali.
Dimostrazione:
Osserviamo innanzitutto che
( ) ( ) è un ideale principale per l’anello
commutativo con identità . Consideriamo adesso un ideale di diverso da
( ) (
( ) , in esso scegliamo un elemento ) ( ) di grado minimo. Comunque
(
scelto un polinomio ) ( ) potremo scrivere:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) (18.2.3)
dove se
(
(cioè ) (
( ) non è un divisore di ) ( )) risulterà ,
ma in questo caso potremmo scrivere:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) (18.2.4)
(
che è un assurdo in quanto ) ( ) deve appartenere ad , come mostra la precedente,
pur avendo grado che per ipotesi è il grado minimo dei polinomi non nulli
contenuti in . Deve pertanto essere
(
, o, che è lo stesso, ) ( )
( ) ( )
, pertanto ogni ideale di è principale.
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