Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Cenni di Trasmissione Numerica 55
Fig.E 5.1 - Q(x), 1 2 ex2 2 ,
1
e x2
√2πx 2 2
Constatiamo che, nel caso di
spazio di osservazione continuo, la
maggiorazione di Bhattacharyya seppur
asintoticamente stretta è comunque
più “lasca” di quelle che si possono
ottenere maggiorando la ( )
tramite una delle precedenti. Utilizzando
ad esempio la seconda si introdurrebbe
un fattore vale cioè la seguente
disuguaglianza:
∑
‖
‖
(5.9.15)
L’utilizzo della prima delle (5.9.14) fornirebbe come risulta evidente dalla Fig.E
5.1Fig.E 5.1 una maggiorazione certamente più stretta solo qualora i valori degli
argomenti delle ( ) nella (5.9.13) fossero tutti maggiori di √ .
5.10 - Bound di Gallager.
Lo Union Bound può rivelarsi in molti casi una maggiorazione piuttosto lasca,
talvolta addirittura palesemente inutile se dovesse risultare maggiore di uno.
Un diverso approccio per maggiorare è quello di considerare una regione
̃ ̅ e valutare la probabilità ( ̃ ) . Quest’ultima, sarà
necessariamente non minore di
. A tale scopo consideriamo il seguente sottoinsieme
dello spazio d’osservazione S K :
̃ { ∑ ( ( )
( ) ) } (5.10.1)
dove è un reale positivo scelto ad arbitrio. ̃ ̅ , infatti, si osservi che la
sommatoria nella (5.10.1) è a termini positivi, inoltre se ̅ allora per definizione
esiste almeno un tale che ( ) ( ), ciò, essendo , comporta
che almeno un addendo, e quindi tutta la sommatoria, assuma un valore maggiore di
in ogni punto di ̅
. Introducendo la funzione ausiliaria:
( ) {
̃
(5.10.2)
possiamo scrivere: