Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Capitolo - 16
ANELLI DI POLINOMI
16.1 - Premessa
Abbiamo già fornito la definizione di campo e abbiamo anche operato nel campo
costituito da due soli elementi. Si possono costruire anche campi finiti (Campi di
Galois Galois Field) con un numero d’elementi che sia un primo o una potenza di
un primo.
GF 7
0 1 2 3 4 5 6 ⊗ 0 1 2 3 4 5 6
0 0 1 2 3 4 5 6 0 0 0 0 0 0 0 0
1 1 2 3 4 5 6 0 1 0 1 2 3 4 5 6
2 2 3 4 5 6 0 1 2 0 2 4 6 1 3 5
3 3 4 5 6 0 1 2 3 0 3 6 2 5 1 4
4 4 5 6 0 1 2 3 4 0 4 1 5 2 6 3
5 5 6 0 1 2 3 4 5 0 5 3 1 6 4 2
6 6 0 1 2 3 4 5 6 0 6 5 4 3 2 1
Tabella 16.1 - Campo di Galois di 7 elementi
Nel caso in cui il
campo abbia un numero primo
d’elementi, l’addizione
e la moltiplicazione tra elementi
del campo si possono
effettuare in modo tradizionale
avendo cura di ridurre il
risultato modulo .
Nella Tabella 16.1 a titolo d’esempio sono riportati i risultati di tutte le possibili
somme e prodotti tra coppie d’elementi di 7, il campo di Galois con sette elementi.
16.2 - L’anello polinomi a coefficienti in
Consideriamo un campo e un’indeterminata , indichiamo con l’insieme
di tutti i possibili polinomi (cioè di qualunque grado) nella variabile con coefficienti
appartenenti ad , il generico elemento di sarà cioè del tipo:
( ) ( ) (16.2.1)
dove è un intero non negativo qualsiasi ed , essendo l’elemento neutro
rispetto all’addizione in . Conveniamo inoltre:
a) di utilizzare per le leggi di composizione del campo i simboli utilizzati per il campo
reale
(
b) di indicare con ) ( ) il polinomio identicamente nullo, cioè coincidente con
c) di omettere l’apice tra parentesi per indicare un polinomio di grado generico;
(
d) che dato ) ( ), per .
Siano
( ) ( )
( ) ( ) due elementi di e un elemento di , poniamo:
( )
( ) ( ) ( ) ( )
(16.2.2)