Appunti di Teoria dell'Informazione e Codici - Università di Palermo

Codici Sistematici 93
11.3 - Codici duali
Osserviamo che la (11.2.4) implica l’ortogonalità tra la generica parola di codice
e ogni riga della matrice , le cui righe essendo linearmente indipendenti sono in
grado di generare un sottospazio di ortogonale a , nel senso che
combinando linearmente le righe di si ottengono sempre parole di ortogonali a
qualsiasi parola di .
Ci si rende facilmente conto del fatto che si può pensare a come ad un
codice ( ).
Permutando opportunamente le colonne della matrice si può sempre rendere
sistematico, in un certo senso lo è anche senza permutarle, solo che in questo
caso i bit informativi coincidono con gli ultimi bit della parola di codice.
11.4 - Decodifica basata sulla sindrome
Supponiamo di ricevere una parola , affetta da un pattern d’errore . Se sostituiamo
a primo membro della (11.2.4) otteniamo:
(11.4.1)
è una parola di bit che prende il nome di sindrome della parola ricevuta. Vi
sono possibili sindromi.
È interessante osservare che il calcolo della sindrome può essere effettuato in
ricezione con uno schema analogo a quello utilizzato per il codificatore, dimensionando
correttamente i due registri a scorrimento. Il calcolo della sindrome nei codici a
rivelazione d’errore consente verificare facilmente se la parola ricevuta appartiene al
codice solo le parole di codice hanno infatti sindrome nulla.
Nel caso dei codici a correzione d’errore, osservando la (11.4.1) si rileva che tutti
gli elementi di uno stesso laterale del codice hanno la stessa sindrome. Tutti gli
elementi di un laterale si ottengono infatti sommando ad un qualsiasi elemento del
coset stesso una parola di codice. È altresì chiaro che elementi appartenenti a laterali
distinti avranno sindromi distinte. In sostanza esiste una corrispondenza biunivoca tra il
gruppo delle sindromi e l’insieme dei laterali che è esso stesso un gruppo, detto gruppo
quoziente indicato con ⁄ . La composizione tra due laterali del gruppo quoziente
si effettua individuando il coset di appartenenza dell’elemento di ottenuto
componendo due elementi arbitrariamente scelti nei due laterali componendi.
Si constata che il gruppo delle sindromi è isomorfo al gruppo quoziente di
individuato dal suo sottogruppo normale .