You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 9<br />
olmalıdır. Bu durumda herhangi bir x tamsayısıiçin<br />
(x − 1) (x − 2) . . . (x − (p − 1)) − x p−1 − 1 ≡ 0 (mod p)<br />
olur ve özel olarak x = 0 alırsak<br />
elde edilir.<br />
(−1) (−2) . . . (− (p − 1)) + 1 ≡ 0 (mod p)<br />
(−1) p−1 (p − 1)! ≡ 1 (mod p)<br />
(p − 1)! ≡ 1 (mod p)<br />
Daha önceden n tamsayısıiçin, d sayısıφ (n)’nin keyfi bir böleni olmak üzere<br />
(mod n)’de mertebesi d olacak ¸sekilde bir a sayısıolmayabilece˘gini söylemi¸s ve<br />
n = 12 için 4|φ (12) = 4 oldu˘gu halde mertebesi 4 olan bir a sayısıolmadı˘gını<br />
göstermi¸stik. A¸sa˘gıdaki teorem bu durumun n sayısının asal oldu˘gu durumlarda<br />
geçerli olmadı˘gınıgöstermektedir.<br />
Teorem 8.2.3. p bir asal sayıve d| (p − 1) ise (mod p)’ye göre mertebesi d olan<br />
φ (d) tane farklıtamsayıvardır.<br />
Kanıt. d| (p − 1) ve Ψ (d), (mod p)’ye göre mertebesi d olan sayıların sayısıolsun.<br />
Yani teoremi ispatlamak için Ψ (d) = φ (d) oldu˘gunu göstermeliyiz. 1 ile<br />
p − 1 arasındaki sayılar, p ile aralarında asal olduklarından bir d mertebesine<br />
sahiptirler. Dolayısıyla<br />
p − 1 = <br />
Ψ (d)<br />
yazabiliriz. Ayrıca Gauss teoreminden<br />
oldu˘gundan<br />
<br />
d|(p−1)<br />
d|(p−1)<br />
p − 1 = <br />
d|(p−1)<br />
Ψ (d) = <br />
φ (d)<br />
d|(p−1)<br />
φ (d) (8.3)<br />
e¸sitli˘gi elde edilir. d| (p − 1) olacak ¸sekildeki her d sayısıiçin sadece Ψ (d) ≤ φ (d)<br />
oldu˘gunu gösterirsek E¸sitlik (8.3)’den Ψ (d) = φ (d) elde edilir. (p − 1) sayısının<br />
her d böleni için Ψ (d) = 0 veya Ψ (d) > 0 dır.<br />
-) Ψ (d) = 0 ise Ψ (d) ≤ φ (d) olur<br />
-) Ψ (d) > 0 ise (mod p)’ye göre mertebesi d olan bir a sayısı vardır. Sonuç<br />
8.1.4’ten, a, a 2 , . . . , a d sayıları(mod p)’ye göre kongrüent de˘gildirler ve 1 ≤ k ≤<br />
d olacak ¸sekildeki her k sayısı, a k d ≡ a d k ≡ 1 (mod p) oldu˘gundan<br />
x d − 1 ≡ 0 (mod p) (8.4)<br />
kongrüansınısa˘glar. Sonuç 8.2.2 den (8.4) kongrüansıa, a 2 , . . . , a d sayılarından<br />
ba¸ska çözüme sahip de˘gildir. 1 ≤ k ≤ d için ak sayılarından (mod p)’ye göre<br />
mertebesi d olanların sayısı d<br />
(k,d) = d ¸sartınısa˘glayan k sayılarıkadar yani φ (d)<br />
tanedir. Böylece Ψ (d) = φ (d) elde edilir. Böylece ispat tamamlanmı¸s olur.
Change language