Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 42
x 2 ≡ 5 mod 2 2 kongrüansı 5 ≡ 1 (mod 4) oldu˘gundan çözüme sahiptir
fakat x 2 ≡ 5 mod 2 3 kongrüansının, 5 = 1 (mod 8) oldu˘gundan çözümü yoktur.
x 2 ≡ 17 mod 2 4 ve x 2 ≡ 17 mod 2 5 kongrüanslarının ise 17 ≡ 1 (mod 8)
oldu˘gundan çözümleri vardır.
n > 1 sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sı pi ler ayrık asal sayılar ve ki ≥ 0
tamsayılar olmak üzere n = 2k0p k1
1 pk2 2
kuadratik kongrüansınıçözmek,
. . . pkr
r olsun. (a, n) = 1 olmak üzere
x 2 ≡ a (mod n)
x 2 ≡ a mod 2 k0
x 2
≡ a mod p k1
1
.
x 2 ≡ a mod p kr
r
kuadratik kongrüans sistemini çözmeye denktir. Dolayısıyla Teorem 9.4.1 ve
Teorem 9.4.2’den faydalanarak a¸sa˘gıdaki teoremi verebiliriz.
Teorem 9.4.3. n > 1 sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sın = 2k0p k1
1 pk2 2
. . . pkr
r ve
(a, n) = 1 olsun. Bu takdirde x 2 ≡ a (mod n) kongrüansının çözümünün var
olmasıiçin gerek ve yeter ¸sart a¸sa˘gıdaki ko¸sulların sa˘glanmasıdır.
(i) i = 1, 2, . . . , r için (a/pi = 1) ,
(ii) 8 ∤ n ve 4|n ise a ≡ 1 (mod 4) , 8|n ise a ≡ 1 (mod 8).
Örnek 9.4.4. x 2 ≡ 3 mod 11 2 .23 2 kuadratik kongrüansının çözümünün varlı˘gınıinceleyelim.
Bu kongrüansın çözümünün var olasıiçin gerek ve yeter ¸sart
x 2 ≡ 3 mod 11 2 ve x 2 ≡ 3 mod 23 2 kongrüanslarının çözümlerinin var olmasıdır.
x 2 ≡ 3 mod 11 2 için : Bu kongrüansın çözümünün var olasıiçin gerek ve yeter
¸sart x 2 ≡ 3 (mod 11) yani (3/11) = 1 olmalıdır.
(3/11) = − (11/3) = − (2/3) = − (−1) = 1
Çözüm var.
x 2 ≡ 3 mod 23 2 için : Bu kongrüansın çözümünün var olasıiçin gerek ve yeter
¸sart x 2 ≡ 3 (mod 23) yani (3/23) = 1 olmalıdır.
(3/23) = − (23/3) = − (2/3) = − (−1) = 1
Çözüm var.
Dolayısıyla x 2 ≡ 3 mod 11 2 .23 2 kuadratik kongrüansının çözümü vardır.
Örnek 9.4.5. x 2 ≡ 9 mod 2 3 .3.5 2 kuadratik kongrüansının çözümünün
varlı˘gını inceleyelim. Bu kongrüansın çözümünün var olası için gerek ve yeter
¸sart x 2 ≡ 9 mod 2 3 , x 2 ≡ 9 (mod 3) ve x 2 ≡ 9 mod 5 2 kongrüanslarının