Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 27
(b) ve (d) kısmundan
ab 2 /p = (a/p) b 2 /p = (a/p)
oldu˘gu kolayca görülmektedir. Di˘ger bir ifadeyle, kare kuvvetler Legendre sembolünden
çıkarılabilir.
(p−1)
2 de˘geri, p = 4k + 1 formunda ise çift sayı, p = 4k + 2 formunda ise tek
sayıdır. Dolayısıyla Teorem 9.2.3’ten a¸sa˘gıdaki sonuçu verebiliriz.
Sonuç 9.2.4. p tek asal sayıolmak üzere
(−1/p) =
1
−1
p ≡ 1 (mod 4)
p ≡ −1 (mod 4).
Bu sonuçtan, x 2 ≡ −1 (mod p) kuadratik kongrüansının bir çözüme sahip
olması için gerek ve yeter ¸sartın p asalının 4k + 1 formunda olması gerekti˘gi
görülür.
Örnek 9.2.5. x 2 ≡ −46 (mod 17) kongrüansının çözümünün varlı˘gınıinceleyelim.
Teorem 9.2.3 yardımıyla
(−46/17) = (−1/17) (46/17) = (46/17) = (12/17) = 3.2 2 /17
= (3/17) ≡ 3 17−1
2 ≡ 3 8 ≡ −1 (mod 17)
elde edilir Dolayısıyla x 2 ≡ −46 (mod 17) kongrüansının çözümü yoktur.
Sonuç 9.2.4 yardımıyla asal sayıların da˘gılımıyla ilgili a¸sa˘gıdaki teoremi
verelim.
Teorem 9.2.6. 4k + 1 formunda sonsuz adet asal sayıvardır.
Kanıt. 4k + 1 formunda n tane asal sayıolsun ve bu asal sayılarıp1, p2, . . . , pn
ile gösterelim.
N = (2p1p2 . . . pn) 2 + 1
tamsayısını ele alalım. N sayısı tek oldu˘gundan p|N olacak ¸sekilde tek p asal
sayısıvardır ve
(2p1p2 . . . pn) 2 ≡ −1 (mod p) (9.7)
yazılabilir. Legendre sembolü ile ifade edecek olursak (−1/p) = 1 olur. Bu durumda,
Sonuç 9.2.4’ten p, 4k + 1 formundadır. Yani p, pi asallarından biridir.
Dolayısıyla (9.7) ’den pi|1 çeli¸skisi elde edilir.
Teorem 9.2.7. p tek asal sayıolsun. Bu durumda
p−1
(a/p) = 0.
a=1
ve p sayısı, tam olarak (p − 1) /2 tane kuadratik kalan olan ve (p − 1) /2 tane
de kuadratik kalan olmayan sayıya sahiptir.