Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 31
Böylece p, 8k+1 veya 8k+7 formunda ise (2/p) = 1, 8k+3 veya 8k+5 formunda
ise (2/p) = −1 olur.
Örne˘gin
(2/5) = −1, (2/7) = 1, (2/11) = −1, (2/13) = −1, (2/17) = 1.
p asalı8k ± 1 formunda ( denk olarak p ≡ 1 (mod 8) veya p ≡ 7 (mod 8) )
ise
p2 − 1
8 = (8k ± 1)2 − 1
=
8
64k2 ± 16k
= 8k
8
2 ± 2k
de˘geri çifttir. Bu durumda, (−1) p2 −1
8 = 1 = (2/p) olur. p asalı8k ± 3 formunda
( denk olarak p ≡ 3 (mod 8).veya p ≡ 5 (mod 8) formunda ) ise
p2 − 1
8 = (8k ± 3)2 − 1
=
8
64k2 ± 48k + 8
= 8k
8
2 ± 6k + 1
de˘geri ise tektir. Bu durumda ise (−1) p2 −1
8 = −1 = (2/p) olur. Bu gözlemden
yola çıkarak a¸sa˘gıdaki sonucu verelim.
Sonuç 9.2.11. p tek asal sayıise
(2/p) = (−1) p2 −1
8 .
p tek asal sayıolsun. p’nin ilkel köklerini veren genel bir yöntem olmadı˘gını
daha önce belirtmi¸stik. Fakat a¸sa˘gıdaki teorem bazıözel durumlar için ilkel kökü
verir.
Teorem 9.2.12. p ve 2p+1 tek asal sayılar olsun. Bu takdirde (−1) p−1
2 .2 sayısı
2p + 1 asalının bir ilkel köküdür.
Kanıt. Sadelik açısından q = 2p + 1 yazalım. Teoremi p ≡ 1 (mod 4) ve p ≡
3 (mod 4) için ayrıayrıispatlayalım.
p ≡ 1 (mod 4) olsun. Bu durumda q ≡ 3 (mod 8) olur. (−1) p−1
2 2 = 2 sayısının
(mod q)’ya göre mertebesinin φ (q) = q −1 = 2p oldu˘gunu gösterelim. φ (q) = 2p
oldu˘gundan, 2 sayısının, (mod q)’ya göre mertebesi 1, 2, p veya 2p sayılarından
biridir ( 1 olmadı˘gıa¸sikar ). Teorem 9.2.3 (c)’den
2 p = (2/q) ≡ 2 q−1
2 = (2/q) (mod q)
elde edilir. Ayrıca Teorem 9.2.10’dan, q ≡ 3 (mod 8) oldu˘gundan (2/q) = −1 dir.
Böylece 2p ≡ −1 (mod q) elde edilir. Bu 2 sayısının (mod q)’ye göre mertebesinin
p olamayaca˘gınıgösterir. Ayrıca 2 sayısının (mod q)’ye göre mertebesinin 2’de
olamaz. Öyle olsaydı, 22 ≡ 1 (mod q) yani q|3 çeli¸skisi elde edilirdi. Böylece 2
sayısının (mod q)’ye göre mertebesinin 2p olur.
p ≡ 3 (mod 4) olsun. Bu durumda q ≡ 7 (mod 8) olur. (−1) p−1
2 2 = −2 sayısının