Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 33
¸Simdi ise Kuadratik kar¸sık kuralının ispatında kullanaca˘gımız a¸sa˘gıdaki
yardımcıteoremi verelim.
YardımcıTeorem 9.2.14. p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a tek
tamsayısıverilsin. Bu durumda
(a/p) = (−1) Σ
p−1
2
k=1
⌊ ka
p ⌋ .
Kanıt. Gauss yardımcıteoremindeki gösterimleri hatırlayalım.
p − 1
S = a, 2a, . . . , a
2
olsun. Bu sayıların p’ye bölümünden kalanları, 0 < ri < p/2 ve p/2 < si < p olmak
üzere r1, r2, . . . , rm ve s1, s2, . . . , sn ile göstermi¸stik ve ayrıca r1, r2, . . . , rm
ve p−s1, p−s2, . . . , p−snsayıları, 1, 2, . . . , (p − 1) /2 sayılarıydı(sıradan ba˘gımsız
olarak). 1 ≤ k ≤ p−1
2 için, 1 ≤ tk ≤ p − 1 ve qk ∈ Z olmak üzere
yazabiliriz ve ka
p = qk + tk
p oldu˘gundan
için
ka = qkp + tk
ka
p = qk olur. Böylece 1 ≤ k ≤ p−1
2
ka =
ka
p + tk
p
yazılabilir. Burada tk < p/2 kalanı r1, r2, . . . , rm sayısından biridir ve benzer
¸sekilde tk > p/2 kalanıs1, s2, . . . , sn sayılarından biridir. Dolayısıyla
p−1
2
k=1
ka =
p−1
2
k=1
p−1
2
k=1
p−1
ka
2
p + tk =
p
k=1
ka
p +
p
m
rk +
k=1
n
sk
k=1
k = m
rk + n
(p − sk) = pn + m
rk − n
k=1
k=1
k=1
sk
k=1
e¸sitlikleri elde edilir. (9.8) e¸sitli˘ginden (9.9) e¸sitli˘gini çıkarırsak
(a − 1)
p−1
2
k=1
k = p
p−1
2
k=1
elde edilir. p ≡ a ≡ 1 (mod 2) oldu˘gundan
0.
p−1
2
k=1
k ≡ 1.
n ≡
p−1
2
k=1
p−1
2
k=1
ka
p
ka
− n + 2
p
n
sk
k=1
ka
− n + 0.
p
n
sk (mod 2)
k=1
(mod 2)
(9.8)
(9.9)