Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 90
elde edilir ve buradan da
4y 2 + y = 5y + 1 ⇒ 4y 2 − 4y − 1 = 0
⇒ y = 1 + √ 2
2
elde edilir. Böylece
3; 6, 1, 4 = 3 +
6 +
1
1
= 3 +
1 1+
4+ 1
1+ 1
4+···
1
6 + 1
1+ √ 2
2
(y > 0)
= 3 + 1
6 + 1
y
= 25 + 19√ 2
8 + 6 √ 2
= 14 − √ 2
4
Rasyonel sayıların sonlu basit sürekli kesir ¸seklinde ifade edilebilece˘gini görmü¸stük.
Benzer ¸sekilde irrasyonel sayılar da sonsuz basit sürekli kesir ¸seklinde
ifade edilebilirler.
Teorem 15.3.7. Her irrasyonel sayıtek türlü biçimde sonsuz basit sürekli kesir
olarak ifade edilebilir.
terimi
ve
x0 irrasyonel sayısı verildi˘ginde x0 sayısının sonsuz basit sürekli kesir gös-
olmak üzere
¸sekilde bulunur.
1
x1 =
x0 − ⌊x0⌋ , x2
1
=
x1 − ⌊x1⌋ , x3
1
= , . . .
x2 − ⌊x2⌋
a0 = ⌊x0⌋ , a1 = ⌊x1⌋ , a2 = ⌊x2⌋ , a3 = ⌊x3⌋ , . . .
x0 = [a0; a1, a2, a3, . . .]
Örnek 15.3.8. √ 23 (≈ 4.8) sayısının sonsuz basit sürekli kesir gösterimini
bulalım.
x0 = √ 2 = 4 + √ 23 − 4
a0 = 4
x1 =
x2 =
x3 =
x4 =
1
x0−⌊x0⌋
1
x1−⌊x1⌋
1
x2−⌊x2⌋
1
x3−⌊x3⌋
Bu ¸sekilde devam edilerek
1 = √ =
23−4 √ 23+4
7 = 1 + √ 23−3
7
= 7
√ 23−3 = √ 23+3
2
= 2
√ 23−3 = √ 23−3
7
= 3 + √ 23−3
2
= 1 + √ 23−3
7
7 = √ =
23−4 √ 23 + 4 = 8 + √ 23 − 4
x1 = x5 = x9 = · · ·
x2 = x6 = x10 = · · ·
x3 = x7 = x11 = · · ·
x4 = x8 = x12 = · · ·
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 1
a4 = 8