You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bölüm 12<br />
BazıLineer Olmayan<br />
Diophantine Denklemler<br />
12.1 x 2 + y 2 = z 2 Denklemi<br />
Fermat, n > 2 için<br />
x n + y n = z n<br />
Diophantine denkleminin (0, 0, 0)’dan ba¸ska çözümü olmadı˘gını idda etmi¸stir.<br />
Bu iddia Fermat’ın Son Teoremi olarak olarak bilinmektedir.<br />
Tanım 12.1.1. x 2 +y 2 = z 2 olacak ¸sekildeki x, y, z tamsayılarına Pisagor üçlüsü<br />
denir. E˘ger (x, y, z) = 1 ise bu üçlü ilkel olarak adlandırılır.<br />
(3, 4, 5) , (5, 12, 13) ve (12, 35, 37) ilkel Pisagor üçlüleridir.<br />
(x, y, z) Pisagor üçlüsü verilsin. (x, y, z) = d ise x = dx1, y = dy1, z = dz1<br />
olacak ¸sekilde x1, y1, z1 tam sayılarıvardır.<br />
x 2 1 + y 2 1<br />
=<br />
x<br />
d<br />
= z 2 1<br />
2<br />
+<br />
y<br />
d<br />
2<br />
= x2 + y 2<br />
d 2<br />
= z2<br />
d2 = d2z2 1<br />
d2 ve (x1, y1, z1) = 1 oldu˘gundan (x1, y1, z1) bir ilkel Pisagor üçlüsüdür. Dolayısıyla<br />
Pisagor üçlüleri, ilkel Pisagor üçlülerinden elde edilebilece˘ginden bu üçlüleri<br />
tespit etmek yeterlidir.<br />
Yardımcı Teorem 12.1.2. (x, y, z) bir ilkel Pisagor üçlüsü ise x veya y<br />
sayılarından bir tanesi çift ve di˘geride tektir.<br />
Kanıt. x ve y sayılarının ikisi birden çift olsaydı2 | x 2 + y 2 = z 2 ve dolayısıyla<br />
2 | z olurdu. Bu ise (x, y, z) = 1 olmasıyla çeli¸sir. Di˘ger taraftan x ve y sayıları<br />
tek olsaydıx 2 ≡ 1 (mod 4) ve y 2 ≡ 1 (mod 4) ve dolayısıyla z 2 = x 2 + y 2 ≡<br />
2 (mod 4) olurdu ki bu da bir tamsayının karesinin (mod 4)’te 0 veya 1 olması<br />
ile çeli¸sir.<br />
60
Change language