Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 26
9.2 Legendre Sembolü ve Özellikleri
˙Ileride yapaca˘gımız çalı¸smalarda büyük kolaylık sa˘glayacak olan (a/p) sembolü
ilk kez Legendre tarafından kullanılmı¸s ve dolayısıyla onun adıyla anılmaktadır.
Bu kısımda Legendre sembolünü tanıtıp özelliklerini inceleyece˘giz.
Tanım 9.2.1. p tek asal sayısı ve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a sayısı verilsin.
(a/p) Legendre sembolü,
1 , a sayısıp’nin kuadratik kalanıise
(a/p) =
−1 , a sayısıp’nin kuadratik kalanıde˘gil ise
¸seklinde tanımlanır.
Örnek 9.2.2. p = 13 için
ve
olur.
(1/13) = (3/13) = (4/13) = (9/13) = (10/13) = (12/13) = 1
(2/13) = (5/13) = (6/13) = (7/13) = (8/13) = (11/13) = −1
Sıradaki teoremde, Legendre sembolünün bazıtemel özelliklerini verelim.
Teorem 9.2.3. p tek asal sayısı ve (a, p) = (b, p) = 1 olacak ¸sekilde a ve b
sayılarıverilsin. Bu durumda Legendre sembolü a¸sa˘gıdaki özelliklere sahiptir:
(a) a ≡ b (mod p) ise (a/p) = (b/p).
(b) a 2 /p = 1.
(c) (a/p) ≡ a p−1
2 (mod p).
(d) (ab/p) = (a/p) (b/p).
(e) (1/p) = 1 ve (−1/p) = (−1) p−1
2 .
Kanıt. (a),(b) ve (c) a¸sikar.
(d)- (c) özelli˘ginden
(ab/p) ≡ (ab) p−1
2 ≡ a p−1
2 b p−1
2 ≡ (a/p) (b/p) (mod p)
yazabiliriz. Legendre sembolü sadece 1 ve −1 de˘geri alabilir. E˘ger (ab/p) =
(a/p) (b/p) olsaydı, 1 ≡ −1 (mod p) yani p|2 olurdu ki buda p > 2 olmasıyla
çeli¸sirdi. Dolayısıyla (ab/p) = (a/p) (b/p) elde edilir.
(e)- (1/p) = 1 oldu˘gu a¸sikardır. (−1/p) = (−1) p−1
2 oldu˘gunu göstermek için
(c)’de a = −1 alınırsa
(−1/p) = (−1) p−1
2 (mod p)
olur. (−1/p) ve (−1) p−1
2 de˘gerleri sadece 1 ve −1 olabilece˘ginden yukarıdakine
benzer ¸sekilde (−1/p) = (−1) p−1
2 oldu˘gu gösterilir.