Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI77
Kanıt.
S1 =
S2 =
1 + 0 2 , 1 + 1 2 , 1 + 2 2 , . . . , 1 +
2
−0 2 , −1 2 , −2 2
2
p − 1
, . . . , −
2
2
p − 1
kümelerini ele alalım. S1 kümesinde iki farklıeleman (mod p)’de denk de˘gildirler.
Gerçekten 1 + x 2 1 ≡ 1 + x 2 2 (mod p) olsun.
1 + x 2 1 ≡ 1 + x 2 2 (mod p) ⇒
x 2 1 ≡ x 2 2 (mod p)
⇒ x1 ≡ x2 (mod p) veya x1 ≡ −x2 (mod p)
elde edilir. 0 < x1 +x2 < p (x1 = x2 = 0 hariç) olmasıx1 ≡ −x2 (mod p) olması
ile çeli¸sece˘ginden x1 ≡ x2 (mod p) yani x1 ≡ x2 olmalıdır. Benzer ¸sekilde S2
kümesindeki iki farklıelemanın (mod p)’de denk olmadıklarıgösterilir. S1 ve S2
de toplam p + 1 tane eleman vardır. Güvercin yuvasıilkesiden, S1 kümesindeki
bazıelemanlar S2 deki bazıelemanlar (mod p)’de denktirler yani
1 + x 2 0 ≡ −y 2 0 (mod p)
1 + x 2 0 + y 2 0 ≡ 0 (mod p)
ve 0 ≤ x0, y0 ≤ p−1
2 olacak ¸sekilde x0, y0 sayılarıvardır.
Sonuç 13.3.4. p tek asal sayısıverilsin. Bu takdirde öyle bir k < p sayısıvardır
ki kp dört kare toplamı¸seklinde yazılabilir.
Kanıt. YardımcıTeorem 13.3.3’den 0 ≤ x0, y0 ≤ p−1
2
x 2 0 + y 2 0 + 1 ≡ 0 (mod p)
olacak ¸sekilde x0, y0 sayılarıvardır. Buradan
kp = x 2 0 + y 2 0 + 1 2 + 0 2
yazılabilir (p | (x 2 0 + y 2 0 + 1)). Buradan da
kp = x 2 0 + y 2 0 + 1 < p2
4
e¸sitsizli˘ginden k < p oldu˘gu görülür.
Örnek 13.3.5. p = 17 sayısıiçin
+ p2
4
olmak üzere
+ 1 < p2
S1 = 1 + 0 2 , 1 + 1 2 , 1 + 2 2 , 1 + 3 2 , 1 + 4 2 , 1 + 5 2 , 1 + 6 2 , 1 + 7 2 , 1 + 8 2
= {1, 2, 5, 10, 17, 26, 37, 50, 65}