Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI78
S2 = −0 2 , −1 2 , −2 2 , −3 2 , −4 2 , −5 2 , −6 2 , −7 2 , −8 2
= {0, −1, −4, −9, −16, −25, −36, −49, −64}
Yardımcı Teorem 13.3.3’den S1 kümesindeki 1 + x 2 formundaki sayılardan
bazıları S2 kümesindeki −y 2 formundaki sayılardan bazılarına (mod p) denktir.
Örne˘gin
1 + 5 2 ≡ −5 2 (mod 17)
1 + 5 2 + 5 2 ≡ 0 (mod 17)
3.17 = 51 = 1 2 + 5 2 + 5 2 + 0 2
YardımcıTeorem 13.3.3’deki x0, y0 de˘gerlerini kuadratik kalanlar yardımıyla
da bulabiliriz.
x 2 + y 2 + 1 ≡ 0 (mod p) (13.2)
kongrüansını tekrar ele alalım. E˘ger p ≡ 1 (mod 4) ise x 2 ≡ −1 (mod p)
kuadratik kongrüansının çözümü var ve x0 olsun. x 2 0 ≡ −1 (mod p) oldu˘gundan
x 2 0 + 0 2 + 1 2 ≡ −1 + 1 ≡ 0 (mod p)
oldu˘gundan x0 ve y0 = 0 (13.2) kongrüansının çözümüdür. E˘ger p ≡ 3 (mod 4)
ise p asalının kuadratik kalan olmayan en küçük a sayısını(a ≥ 2) ele alalım.
(−a/p) = (−1/p) (a/p) = −1. (−1) = 1
oldu˘gundan −a sayısı p asalının kuadratik kalanıdır. x2 ≡ −a (mod p) kongrüansının
bir çözümü x0 ve 0 < x0 ≤ p−1
2 olsun. a − 1 sayısı a sayısından
küçük ve pozitif oldu˘gundan p asalıiçin bir kuadratik kalandır. Dolayısıyla
y 2 ≡ a − 1 (mod p)
kongrüansını sa˘glayan 0 < y0 ≤ p−1
2 olacak ¸sekilde bir y0 sayısı vardır.
Dolayısıyla
x 2 0 + y 2 0 + 1 ≡ −a + a − 1 + 1 ≡ 0 (mod p)
olur.
¸Simdi yardımcıteoremleri kullanarak her asalın dört kare toplamı¸seklinde
yazılabilece˘gini gösterelim.
Teorem 13.3.6. Her p asalıdört kare toplamı¸seklinde yazılabilir.
Kanıt. p = 2 için 2 = 1 2 + 1 2 + 0 2 + 0 2 . p tek asal sayıolsun. k < p sayısı
kp = x 2 + y 2 + z 2 + w 2
olacak ¸sekildeki en küçük pozitif tamsayı olsun. Buradaki amacımız k = 1
oldu˘gunu göstermektir. Önce k sayısının tek sayıoldu˘gunu olmayana ergi yöntemi
ile gösterelim. k çift sayıolsun. Bu durumda x, y, z, w sayılarının hepsi tek,
hepsi çifttir yada iki tanesi tek ikitanesi çifttir. Her durumda
x ≡ y (mod 2) ve z ≡ w (mod 2)