You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
Bölüm 9<br />
Kuadratik Kar¸sılık Kuralı<br />
9.1 Euler Kriteri<br />
Kuadratik kar¸sılık kuralı, kuadratik kongrüansların çözülebilirli˘gi ile ilgili bir<br />
kuraldır. ˙Ilk kez Gauss tarafından ispatlanan ( 7 farklı yolla) bu kural farklı<br />
matematikçiler tarafından da farklı¸sekillerde ispatlanmı¸stır.<br />
Bu kuralı vermeden önce a, b, c ∈ Z, p tek asal sayı ve (a, p) = 1 (yani<br />
a = 0 (mod p)) olmak üzere<br />
ax 2 + bx + c ≡ 0 (mod p) (9.1)<br />
formundaki kuadratik kongrüanslarınıele alaca˘gız. (a, p) = 1 ve p tek asal sayı<br />
oldu˘gundan (4a, p) = 1 olur ve (9.1),<br />
kongrüansına denktir.<br />
e¸sitli˘ginden (9.2),<br />
4a ax 2 + bx + c ≡ 0 (mod p) (9.2)<br />
4a ax 2 + bx + c = (2ax + b) 2 − b 2 − 4ac <br />
(2ax + b) 2 ≡ b 2 − 4ac (mod p) (9.3)<br />
halini alır ve y = 2ax + b, d = b 2 − 4ac yazılırsa, (9.3)’den<br />
y 2 ≡ d (mod p) (9.4)<br />
elde edilir. x ≡ x0 (mod p), (9.1)’in çözümü ise y ≡ 2ax0 + b (mod p) sayısıda<br />
(9.4)’ü sa˘glar. Tersine, y ≡ y0 (mod p), (9.4)’ün çözümü ise 2ax ≡ y0−b (mod p)<br />
lineer kongrüansınıçözümü de (9.1)’in çözümüdür.<br />
Böylece (9.1) formundaki bir kuadratik kongrüansınıçözmek, (9.4) formunda<br />
bir kuadratik kongrüans ile lineer bir kongrüans çözmeye denktir.<br />
Bundan dolayı(9.4) formundaki kuadratik kongrüans çözümlerini incelemek<br />
yeterlidir. p|d ise y = 0 (mod p) a¸sikar çözüm olur. A¸sikar olmayan çözümler<br />
22
Change language