Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 54
Sayılar teorisindeki ünlü problemlerden biride tek mükemmel sayıların
varolup olmadıklarıdır. ¸Simdiye kadar tek olan bir mükemmel sayıbulunmamı¸s
olmasına ra˘gmen bu sayıların varlı˘gıiçin bazıko¸sullar bulmak mümkündür.
Teorem 11.3.6 (Euler). n mükemmel sayısıtek ise pi’ler ayrık asallar ve p1 ≡
k1 ≡ 1 (mod 4) olmak üzere
n = p k1
1 p2j2
2 . . . p 2jr
r .
Kanıt. n sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sıp k1
1 pk2 2
oldu˘gundan
2n = σ (n) = σ
p k1
1
σ
p k2
2
. . . pkr
r olsun. n mükemmel sayı
. . . σ p kr
r
dır. n tek sayı oldu˘gundan n ≡ 1 (mod 4) veya n ≡ 3 (mod 4). Her iki durumda
da 2n ≡ 2 (mod 4) yani 4 ∤ σ (n) olur. Ayrıca 2|2n = σ (n) dir. Böylece
σ p k1
1 , σ p k2
2 , . . . , σ pkr
r sayılarından bir tanesi çift (fakat 4 ile bölünmez)
geri kalanlar ise tek sayı olmalıdır. σ p k1
1 sayısı çift (σ p k1
1 ≡ 2 (mod 4)
olur) ve di˘gerleri de tek olsun (i = 2, . . . , r için σ p ki
i ≡ 1 (mod 4) veya
σ p ki
i ≡ 3 (mod 4) olur). Herhangi bir p tek asal sayısı için p ≡ 1 (mod 4)
veya p ≡ 3 ≡ −1 (mod 4) olur.
p ≡ 3 ≡ −1 (mod 4) durumu için k ∈ Z + sayısıolmak üzere :
σ p k = 1 + p + p 2 + · · · + p k
≡ 1 + (−1) 1 + (−1) 2 + · · · + (−1) k (mod 4)
0 (mod 4) , k tek ise
≡
1 (mod 4) , k çift ise
olur. Dolayısyla σ p k1
1 ≡ 2 (mod 4) oldu˘gundan p1 ≡ 1 (mod 4) elde edilir.
i = 2, . . . , r olmak üzere pi ≡ 3 (mod 4) olursa ki çift olur.
p ≡ 1 (mod 4) durumu için k ∈ Z + sayısıolmak üzere :
σ p k = 1 + p + p 2 + · · · + p k
≡ 1 + 1 1 + 1 2 + · · · + 1 k (mod 4)
≡ k + 1 (mod 4)
elde edilir. p1 ≡ 1 (mod 4) ve σ p k1
1 ≡ 2 (mod 4) oldu˘gundan k1 ≡ 1 (mod 4)
elde edilir. i = 2, . . . , r olmak üzere pi ≡ 1 (mod 4) olursa σ p ki
i ≡ 1 (mod 4)
veya σ p ki
i ≡ 3 (mod 4) oldu˘gundan ki ≡ 0 (mod 4) veya ki ≡ 2 (mod 4) elde
edilir. Yani bu durumda da ki çift olur.