Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 82
15.2 Sonlu Sürekli Kesirler
Tanım 15.2.1. a0 ∈ R, a1, . . . , an ∈ R + olmak üzere
a0 +
a1 +
1
1
1
a2+
. ..an−1
+ 1
an
kesirine sonlu sürekli kesir denir ve [a0; a1, . . . , an] ¸seklinde gösterilir.
ai sayılarıtamsayıise bu kesire sonlu basit sürekli kesir denir.
Tanımdan da görüldü˘gü üzere sonlu basit sürekli kesirin de˘geri rasyonel
sayıdır.
Örnek 15.2.2.
3 +
1
4 + 1
1+ 1
4+ 1 2
= 3 +
1
4 + 1
1+ 1 9 2
= 3 + 1
4 + 1 11
9
= 3 + 11
53
= 170
53
= 3 +
1
4 + 1
1+ 2
9
= 3 + 1
4 + 9
11
= 3 + 1
53
11
Tersine her rasyonel sayısonlu basit sürekli kesir olarak yazılabilir.
Teorem 15.2.3. Her rasyonel sayısonlu sürekli basit kesir olarak yazılabilir.
Kanıt. b > 0 olmak üzere a
b keyfi rasyonel sayısını ele alalım. Öklid algoritmasından
a = a0.b + r1 0 < r1 < b
b = a1.r1 + r2 0 < r2 < r1
r1 = a2.r2 + r3 0 < r3 < r2
.
rn−2 = an−1.rn−1 + rn 0 < rn < rn−1
rn−1 = an.rn + 0
e¸sitlikleri elde edilir. Dikkat edilirse buradaki ai sayılarıtamsayıdır. Yukarıdaki