Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 29
kümesindeki sayılardan, p’ye bölündü˘günde kalanıp/2 den büyük olan sayıların
sayısın olmak üzere,
(a/p) = (−1) n .
Kanıt. (a, p) = 1 oldu˘gundan, S kümesindeki sayılar (mod p)’de sıfırdan farklıdır
ve herhangi ikisi denk de˘gildir. Bu (p − 1) /2 tane sayının p’ye bölümünden
kalanlarır1, r2, . . . , rm ve s1, s2, . . . , sn olsun öyleki 0 < ri < p/2 ve p/2 < si < p
( dikkat edilirse m + n = (p − 1) /2 dir ). Bu durumda
r1, r2, . . . , rm ve p − s1, p − s2, . . . , p − sn
sayılarının hepsi pozitif ve p/2 den küçüktür. ¸Simdi bu sayıların birbirinden
farklıoldu˘gunu olmayana ergi ile gösterelim. Farz edelim ki bazıi ve j de˘gerleri
için
p − si = rj
olsun. 1 ≤ u, v ≤ (p − 1) /2 olmak üzere si ≡ ua (mod p) ve rj ≡ va (mod p)
olacak ¸sekilde u, v sayılarıvardır. Bu takdirde
(u + v) a ≡ si + rj = p ≡ 0 (mod p)
elde edilir ki (a, p) = 1 oldu˘gundan u + v ≡ 0 (mod p) olur. Bu ise 1 < u + v ≤
p − 1 olmasıile çeli¸sir. Böylece
r1, r2, . . . , rm ve p − s1, p − s2, . . . , p − sn
sayıları, 1, 2, . . . , (p − 1) /2 sayılarıdır (sıradan ba˘gımsız olarak). Buradan
p − 1
!
2
= r1 . . . , rm (p − s1) . . . (p − sn)
≡ r1 . . . , rm (−s1) . . . (−sn) (mod p)
≡ (−1) n r1 . . . , rms1 . . . sn (mod p)
elde edilir. r1, r2, . . . , rm, s1, s2, . . . , sn sayıları (mod p)’de a, 2a, . . . , p−1
2 a
sayılarına denk olduklarından, son kongrüans
p − 1
! ≡ (−1)
2
n
p − 1
a.2a . . . a (mod p)
2
≡ (−1) n a p−1
p − 1
2 ! (mod p)
2
halini alır. p−1
2 ! ile p aralarında asal olduklarından
olur ve her iki tarafı(−1) n ile çarparak
1 ≡ (−1) n a p−1
2 (mod p)
a p−1
2 ≡ (−1) n (mod p)