Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 5
Örnek 8.1.7. 2’nin kuvvetlerinin (mod 13)’e göre mertebelerini belirleyelim.
2 ≡ 2 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi=12
2 2 ≡ 4 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 6
(2, 12)
2 3 ≡ 8 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 4
(3, 12)
2 4 ≡ 3 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 3
(4, 12)
2 5 ≡ 6 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 12
(5, 12)
2 6 ≡ 12 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 2
(6, 12)
2 7 ≡ 11 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 12
(7, 12)
2 8 ≡ 9 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 3
(8, 12)
2 9 ≡ 5 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 4
(9, 12)
2 10 ≡ 10 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 6
(10, 12)
2 11 ≡ 7 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 12
(11, 12)
2 12 ≡ 1 sayısının (mod 13) ’e göre mertebesi= 12
= 1
(12, 12)
Tanım 8.1.8. (a, n) = 1 ve a sayısının (mod n)’ye göre mertebesi φ (n) ise a
sayısına n tamsayısının ilkel kökü (primitive root) denir.
Di˘ger bir ifadeyle a φ(n) ≡ 1 (mod n) ve k < φ (n) için a k = 1 (mod n) ise
a’ya n’nin ilkel kökü denir.
3 sayının, 7’nin bir ilkel kökü oldu˘gunu gösterelim. (3, 7) = 1 oldu˘gundan
3 φ(7) ≡ 3 6 ≡ 1 (mod n) olur. 6’nın pozitif bölenleri 1, 2, 3, 6 oldu˘gundan sadece
3 1 , 3 2 , 3 3 , 3 6 de˘gerlerini incelememiz yeterlidir.
3 1 ≡ 3, 3 2 ≡ 2, 3 3 ≡ 6 (mod 7)
oldu˘gundan 3’ün (mod 7)’ye göre mertebesi φ (7) = 6 dır. Dolayısıyla 3, 7
sayısının ilkel köküdür.
Bölüm 8.2’de herhangi bir n asal sayısının her zaman ilkel köklere sahip
oldu˘gunu gösterece˘giz. n asal olmadı˘gı durumlarda ilkel köke sahip olabilirde
olmayabilirde. Örne˘gin; 9 sayısının bir ilkel kökü 2’dir fakat 8 sayısının bir ilkel
kökü yoktur. Daha genel olarak ilkel köklerin var olmamasıdaha genel bir durumdur.