Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 58
3 sayısının (mod p)’ye göre mertebesi k olsun. Teorem 8.1.2’den k | (Fn − 1) =
22n yani k sayısı2 sayısının bir kuvvetidir. Aslında k = 22n oldu˘gunu gösterelim.
r ≤ 2n−1 olmak üzere, k = 2r olsaydı, 3k ≡ 1 (mod p) denkli˘ginde gerekli kadar
kare alma i¸slemine devam edilerek
yani
3 22n −1
≡ 1 (mod p)
3 (Fn−1)
2 ≡ 1 (mod p)
elde edilirdi ki buradan 1 ≡ −1 (mod p) çeli¸skisi elde edilirdi. Dolayısıyla k
sadece k = 22n = Fn − 1 de˘gerini alabilir. Fermat teoreminden k ≤ p − 1 yani
Fn = k + 1 ≤ p olur. Ayrıca p | Fn oldu˘gundan p ≤ Fn dir. Dolayısıyla Fn = p
yani Fn sayısının asal oldu˘gu elde edilir.
Di˘ger taraftan, n ≥ 1 için Fn Fermat sayısı asal olsun. Fn ≡ (−1) 2n
+ 1 ≡
2 (mod 3) oldu˘gundan dolayı, Kuadratik Kalan kuralından
dir ve Euler kriterinden
elde edilir.
(3/Fn) = (Fn/3) = (2/3) = −1
3 Fn−1
2 ≡ −1 (mod Fn)
Pepin testini kullanarak F3 = 257 sayısının asal oldu˘gunu gösterelim.
3 (F 3 −1)
2 = 3 128 = 3 3 3 5 25
≡ 27 (−14) 25 (mod 257)
≡ 27.14 24 (−14) (mod 257)
≡ 27.17 (−14) (mod 257)
≡ 27.19 (mod 257)
≡ 513 (mod 257)
≡ −1 (mod 257)
oldu˘gundan Pepin testinden F3 sayısıasaldır.
Euler’in F5 Fermat sayısının asal olmadı˘gını gösterdi˘ginden bahsetmi¸stik.
1880 yılında 82 ya¸sındaki F. Landry
F6 = 274177.67280421310721
Fermat sayısının asal olmadı˘gını göstermi¸stir fakat bu çalı¸smasını yayınlamamı¸stır.
1905 yılında J.C. Morehead ve A.E. Western birbirlerinden ba˘gımsız olarak
F7 Fermat sayısına Pepin testini uygulamı¸s ve bu sayının birle¸sik sayıoldu˘gunu
bulmu¸slardır. 66 yıl sonra 1971 yılında Brillhart ve Morrison F7 = 227 + 1
sayısının asal çarpanlara ayrılı¸sını
F7 = 59649589127497217.5704689200685129054721