You also want an ePaper? Increase the reach of your titles
YUMPU automatically turns print PDFs into web optimized ePapers that Google loves.
BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 35<br />
9.3 Kuadratik Kar¸sılık<br />
p ve q ayrık asallar ise her iki (p/q) ve (q/p) Legendre sembolü de tanımlıdır. Burada<br />
ilk akla gelen soru bu iki sembol arasında bir ili¸skinin var olup olmadı˘gıdır.<br />
1783 yılında Euler böyle bir ili¸skinin var oldu˘gunu örnekler üzerinden konjuktüre<br />
etmi¸s ve 2 yıl sonra bu konjektür Legendre tarafından eksik olarak ispatlamı¸stır.<br />
Legendre bu ili¸skiyi kendi sembolünü kullanarak<br />
(p/q) (q/p) = (−1) p−1 q−1<br />
2 2<br />
¸sekline ifade etmi¸stir ve Kuadratik Kar¸sılk Kuralı olarak bilinmektedir. 1798<br />
yılında Legendre bu ili¸skiyi ikinci kez ispatlamaya çalı¸smı¸ssada bu ispat da bazı<br />
bo¸sluklar içermekteydi.<br />
Legendre’nin ve Euler’in çalı¸smalarından habersiz bir ¸sekilde Gauss 18<br />
ya¸sında (1795) bu ili¸skiyi bulmu¸s ve bir yıllık çalı¸smanın ardından tam ispatını<br />
vermi¸stir. Bu ispatı "Disquisitiones Arithmeticae" adlı eserinde yayınlamı¸stır.<br />
Bu eseri 1798 yılında bitirmi¸s olmasına ra˘gmen 1801 yılında basılmı¸stır. Bu<br />
durum Legendre ve Gauss arasında Kuadratik Kar¸sılık Kuralının sahiplenilmesi<br />
konusunda tartı¸sma ba¸slatmı¸stır. Gauss daha sonra bu kuralın be¸s farklıispatını<br />
vermi¸s ve bunlara " aritmeti˘gin mücevherleri " demi¸stir. A¸sa˘gıda verece˘gimiz<br />
ispat Gauss’un ispatlarından biridir.<br />
Teorem 9.3.1 (Kuadratik Kar¸sılık Kuralı). p ve q farklıtek asal sayılar ise<br />
(p/q) (q/p) = (−1) p−1 q−1<br />
2 2 .<br />
Kanıt. xy düzleminde (0, 0) , (p/2, 0) , (q/2) , (p/2, q/2) noktalarının olu¸sturdu˘gu<br />
dikgörtgensel bölgeyi ele alalım ve bu bölgeyi T olarak adlandıralım. n, m<br />
tamsayılar olmak üzere, T bölgesi içerisinde kalan (n, m) noktalarının sayısı<br />
1 ≤ n ≤ (p − 1) /2 ve 1 ≤ m ≤ (q − 1) /2 oldu˘gundan<br />
p − 1 − 1<br />
.q<br />
2 2<br />
dir. y = (q/p) x do˘grusu T bölgesini iki parçaya ayırır ve (p, q) = 1 oldu˘gundan<br />
bu do˘gru üzerinde bile¸senleri tamsayıolan (n, m) noktalarıyoktur. T bölgesinin,<br />
do˘grunun alt kısmında kalan parçasıT1, üst kısmında kalan parçasıda T2 olsun.<br />
Bu durumda p−1 q−1<br />
2 . 2 de˘geri T1 ve T2 bölgesindeki tamsayı bile¸senlere sahip<br />
noktaların toplamına e¸sittir. Dolayısıyla ¸simdi bu noktaların sayısını bulalım.<br />
T1 için ba¸slayalım. 1 ≤ k ≤ (p − 1) /2 sayılarıiçin 0 < y < kq/p aralı˘gındaki<br />
tamsayıların sayısı [kq/p] dir. Di˘ger bir ifadeyle (0, k) ile (k, kq/p) noktaları<br />
arasındaki do˘gru parçasıarasındaki tamsayıbile¸senlere sahip noktaların sayısı<br />
[kq/p] dir. Dolayısıyla T1 içeresindeki tamsayıbile¸senli noktaların sayısı<br />
(p−1)/2 <br />
k=1<br />
<br />
kq<br />
p
Change language