Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 51<br />
oldu˘gundan<br />
2 23 ≡ 2 3 6 ≡ 48 ≡ 1 (mod 47)<br />
olur yani 47|M23 = 2 23 − 1 oldu˘gundan M23 sayısıbirle¸sik sayıdır.<br />
p = 29 asalıiçin se 59 ∤ M29 yerine 59| (M29 + 2) elde edildi˘ginden, Teorem<br />
11.3.1 M29 sayısının asal olup olamıdı˘gının tespitinde yardımcıolmamaktadır.<br />
A¸sa˘gıdaki teoremde q|Mp olmasıiçin q sayısıüzerindeki ko¸sullar verilmi¸stir.<br />
Teorem 11.3.2. q = 2n + 1 asal sayıolsun.<br />
(a) q ≡ 1 (mod 8) veya q ≡ 7 (mod 8) ise q|Mn,<br />
(b) q ≡ 3 (mod 8) veya q ≡ 5 (mod 8) ise q|Mn + 2.<br />
Kanıt. q|Mn olması<br />
Mn ≡ 0 (mod q)<br />
2 n = 2 q−1<br />
2 ≡ 1 (mod q)<br />
ifadesine denktir. Bu ifadeyi Teorem 9.2.3 (c)’den Legendre sembolü ile gösterirsek<br />
(2/q) = 1 olur. Teorem 9.2.10’dan q ≡ 1 (mod 8) veya q ≡ 7 (mod 8)<br />
ise (2/q) = 1 oldu˘gunundan (a) do˘grudur. (b) ¸sıkkıda benzer ¸sekilde yapılır.<br />
Sonuç 11.3.3. p ve q = 2p + 1 tek asal sayılar ve p ≡ 3 (mod 4) ise q|Mp dir.<br />
Kanıt. p tek asal sayıoldu˘gundan 4k+1 veya 4k+3 formundadır. E˘ger p = 4k+3<br />
ise q = 8k + 7 olur ve Teorem 11.3.2’den q|Mp olur. p = 4k + 1 ise q = 8k + 3<br />
olur ki bu durumda yine Teorem 11.3.2’den q ∤ Mn olur.<br />
p = 11, 23, 83, 131, 179, 191, 239, 251 asal sayıları için q = 2p + 1 sayıları<br />
da asaldır ve p ≡ 3 (mod 4) oldu˘gundan Sonuç 11.3.3’ten Mp sayılarıbirle¸sik<br />
sayıdır.<br />
Mp sayısının bölenleri ile ilgili, Fermat’a ait olan iki teorem verelim.<br />
Teorem 11.3.4. p tek asal sayıise Mp sayısının her asal böleni 2kp + 1 formundadır.<br />
Kanıt. q, Mp = 2 p − 1 sayısının bir asal böleni olsun. Bu durumda 2 p ≡<br />
1 (mod q) olur. ¸Simdi 2 sayısının (mod q)’ya göre mertebesinin p oldu˘gunu<br />
gösterelim. E˘ger 2 sayısının (mod q)’ya göre mertebesi t olsaydıTeorem 8.1.2’den<br />
t|p olurdu. p asal sayı oldu˘gundan t = 1 veya t = p olmalıdır. t = 1 olsaydı<br />
2 1 ≡ 1 (mod q) denkli˘gi q|1 olmasının gerektirirdi ki q asal sayı oldu˘gundan<br />
çeli¸ski olur. Dolayısıyla t = p, yani 2 sayısının (mod q)’ya göre mertebesinin p<br />
dir.<br />
Fermat teoreminden 2 q−1 ≡ 1 (mod q) dir ve 2 sayısının (mod q)’ya göre mertebesi<br />
p oldu˘gundan tekrar Teorem 8.1.2’den p| (q − 1) dir. Yani z ∈ Z olmak<br />
üzere q = pz + 1 yazılabilir. Burada z tek sayıolsaydıq çift sayıolurdu (çeli¸ski).<br />
Dolayısıyla z çift sayıdır yani q = 2kp + 1 formundadır.<br />
Bu teoremi bir adım daha öteye ta¸sılayım.
Change language