Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 89
15.3 Sonsuz Sürekli Kesirler
Tanım 15.3.1. a0 ∈ R, a1, . . . , an ∈ R + olmak üzere
a0 +
1
a1 + 1
a2+···
kesirine sonsuz sürekli kesir denir ve [a0; a1, . . .] ¸seklinde gösterilir.
ai sayılarıtamsayıise bu kesire sonsuz basit sürekli kesir denir.
Tanım 15.3.2. [a0; a1, . . .] sonsuz basit sürekli kesiri verilsin. Bu kesirin de˘geri
¸seklinde tanımlanır.
lim
n→∞ [a0; a1, . . . , an]
[a0; a1, . . . , am, b1, . . . , bn, b1, . . . , bn, b1, . . . , bn, . . .] ¸seklindeki sürekli kesire
periyodik sürekli kesir denir ve kısaca
a0; a1, . . . , am, b1, . . . , bn
¸seklinde gösterilir.
Sonlu sürekli kesirlerin de˘geri rasyonel sayı idi. Sonsuz sürekli kesirlerin
de˘geri ise irrasyonel sayıdır.
Teorem 15.3.3. Sonsuz sürekli kesirlerin de˘geri irrasyonel sayıdır.
Teorem 15.3.4. [a0; a1, . . .] = [b0; b1, . . .] ise her n için an = bn dir.
Sonuç 15.3.5. ˙Iki farklısürekli kesirin de˘geri iki farklıirrasyonel sayıdır.
Örnek 15.3.6. 3; 6, 1, 4 de˘gerini bulalım.
Burada
yazılırsa
3; 6, 1, 4 = 3 +
6 +
1
y = 1 +
4 +
y = 1 + 1
4 + 1
y
= 1 + 1
4y+1
y
= 5y + 1
4y + 1
1
1
1 1+
4+ 1
1+ 1
4+···
1
1+ 1
4+···
= 1 + y
4y + 1