Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 12. BAZI LINEER OLMAYAN DIOPHANTINE DENKLEMLER65
12.2 Fermat’ın Son Teoremi
Teorem 12.2.1 (Fermat). x 4 + y 4 = z 2 Diophantine denkleminin tamsayı
çözümü yoktur.
Kanıt. x0, y0, z0 sayıları x 4 + y 4 = z 2 denkleminin bir çözümü olsun. Burada
(x0, y0) = 1 oldu˘gunu varsayabiliriz. ( (x0, y0) = d > 1 olursa x0 = dx1, y0 = dy1
ve (x1, y1) = 1 olacak ¸sekilde x1, y1 tamsayılarıve z0 = d 2 z1 olacak ¸sekilde z1
tamsayısı vardır. Böylece x 4 0 + y 4 0 = z 2 0 denkleminden d 4 x 4 1 + d 4 y 4 1 = d 4 z 2 1 ve
dolayısıyla x 4 1 +y 4 1 = z 2 1 elde edilebilece˘ginden x1, y1, z1 sayılarıalınır.) x 4 0 +y 4 0 =
z2 0 denklemini x2 2
2 2 2
0 + y0 = z0 ¸seklinde yazabiliriz. Dolayısıyla x2 0, y2
0, z0 bir
ilkel Pisagor üçlüsüdür. Teorem 12.1.4’ten s > t > 0, (s, t) = 1 ve s = t (mod 2)
olmak üzere
x 2 0 = 2st, y 2 0 = s 2 − t 2 , z = s 2 + t 2
¸seklindedir. Burada s tek t çift veya s çift t tektir. s çift olursa
1 ≡ y 2 0 ≡ s 2 − t 2 ≡ 0 − 1 ≡ 3 (mod 4)
çeli¸skisi elde edilir. Dolayısıyla s tek t çifttir. Yani t = 2r yazabiliriz. (s, t) = 1
olması ayrıca (s, r) = 1 olmasını gerekmektedir. x2 0 = 2st = 4sr oldu˘gundan
x0 2
2 = sr yazabiliriz. Bu e¸sitlik için YardımcıTeorem 12.1.3’den
s = z 2 1, r = w 2 1
olacak ¸sekilde z1, w1 pozitif tamsayılarıvardır.
y 2 0 = s 2 − t 2 ⇒ t 2 + y 2 0 = s 2
e¸sitli˘gindeki t, y0, s sayıları tekrar Teorem 12.1.4’ten u > v > 0, (u, v) = 1 ve
u = v (mod 2) olmak üzere
t = 2uv, y0 = u 2 − v 2 , s = u 2 + v 2
¸seklindedir. Buradan
uv = t
2 = r = w2 1
elde edilir. (u, v) = 1 oldu˘gundan yine YardımcıTeorem 12.1.3’den
u = x 2 1, v = y 2 1
olacak ¸sekilde x1, y1 pozitif tamsayılarıvardır. Böylece
z 2 1 = s = u 2 + v 2 = x 4 1 + y 4 1
elde edildi˘ginden x1, y1, z1 sayıları x 4 + y 4 = z 2 denkleminin bir çözümüdür.
Ayrıca
0 < z1 ≤ z 2 1 = s ≤ s 2 < s 2 + t 2 = z0