Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 15
Kanıt. p tek asal sayısı için Yardımcı Teorem 8.3.4’den p sayısının, r p−1 =
1 mod p 2 olacak ¸sekilde bir r ilkel kökü vardır. Bu r sayısının p 2 içinde ilkel kök
oldu˘gunu yani mod p 2 ’deki mertebesi n olmak üzere n = φ p 2 = p. (p − 1)
oldu˘gunu gösterelim. r’nin mod p 2 ’deki mertebesi n oldu˘gundan
n | φ p 2 = p (p − 1) (8.7)
dir. Ayrıca r n ≡ 1 mod p 2 kongrüansır n ≡ 1 (mod p) kongrüansınıgerektirir
(p | p 2 | (r n − 1)). r, p’nin ilkel kökü oldu˘gundan ve r n ≡ 1 (mod p) oldu˘gundan
(p − 1) | n (8.8)
olur. (8.7) ve (8.8) den n = p − 1 veya n = p (p − 1) dir (n | p (p − 1) ⇒
p (p − 1) = nt1, (p − 1) | n ⇒ n = (p − 1) t2. p (p − 1) = (p − 1) t2t1
⇒ t2t1 = p.
p asal oldu˘gundan t2 = 1, t1 = p veya t2 = p, t1 = 1 olmalıdır. Bu durumda n =
p−1 veya n = p (p − 1) olur.). n = p−1 olsaydır n = r p−1 ≡ 1 mod p 2 olurdu
ki bu da r p−1 = 1 mod p 2 varsayımıyla çeli¸sirdi. Dolayısıyla n = p (p − 1)
olur.
Bu sonucu örneklendirelim. 3 sayısı7 için ilkel köktür. Bu durumda 3 veya 10
sayısı7 2 için ilkel kök olmalıdır. 3 6 ≡ 43 = 1 mod p 2 ve 10 6 ≡ 8 = 1 mod p 2
oldu˘gundan de bu iki sayıda 7 2 için ilkel köktür. Gerçekten: φ 7 2 = 7.6 ve bu
sayının bölenleri 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42 için
3 1 ≡ 3, 3 2 ≡ 9, 3 3 ≡ 27, 3 6 ≡ 43, 3 7 ≡ 31, 3 14 ≡ 30, 3 21 ≡ 48, 3 42 ≡ 1 mod 7 2
10 1 ≡ 10, 10 2 ≡ 2, 10 3 ≡ 20, 10 6 ≡ 8, 10 7 ≡ 31, 10 14 ≡ 30, 10 21 ≡ 48, 10 42 ≡ 1 mod 7 2
oldu˘gundan 3 ve 10, 7 2 için ilkel köktür. Di˘ger bir örnek olarak 29 sayısının ilkel
kökü olan 14 sayısını ele alalım. 14 sayısı 29 2 için bir ilkel kök de˘gildir fakat
14 + 29 sayısı29 2 için bir ilkel köktür.
Yardımcı Teorem 8.3.6. p tek asal sayı ve r, r p−1 = 1 mod p 2 olacak
¸sekilde p sayısının bir ilkel kökü olsun. Bu durumda her k ≥ 2 tamsayısıiçin
sa˘glanır.
r pk−2 (p−1) = 1 mod p k
Kanıt. k üzerinden tümevarım yapalım.
k = 2 için, r p−1 = 1 mod p 2 varsayımdan dolayıdo˘grudur.
k = n için, r pn−2 (p−1) = 1 (mod p n ) do˘gru olsun.
k = n + 1 için, r pn−1 (p−1) = 1 mod p n+1 oldu˘gunu gösterelim. (r, p) = · · · =
r, p n−1 = 1 oldu˘gundan, Euler teoreminden
r φ(pn−1 ) ≡ r p n−2 (p−1) ≡ 1 mod p n−1
n