Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI68
13.2 ˙Iki Kare Toplamı
Bu bölümde verilen bir pozitif tamsayının enfazla kaç tane kare toplamı¸seklinde
yazılabilece˘gini inceleyece˘giz.
1 = 1 2
2 = 1 2 + 1 2
3 = 1 2 + 1 2 + 1 2
4 = 2 2
5 = 2 2 + 1 2
6 = 2 2 + 1 2 + 1 2
7 = 2 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2
Bu örnekler de en az 4 tane kareye ihtiyaç vardır. Gerçekten de 1770 yılında
Lagrange verilen bir pozitif tamsayının enfazla 4 tane kare toplamı ¸seklinde
yazılabilece˘gini ispatlamı¸stır.
Bu kısımda iki kare toplamları ve farklarını inceleyece˘giz. Bir sonraki
bölümde de Lagrange’ın teoremini ispalayaca˘gız.
YardımcıTeorem 13.2.1. E˘ger m ve n iki kare toplamı¸seklinde yazılabilen
sayılar ise, mn sayısıda iki kare toplamı¸seklinde yazılabilir.
Kanıt. m = a 2 + b 2 , n = c 2 + d 2 olsun. mn sayısı
mn = a 2 + b 2 c 2 + d 2
= (ac + bd) 2 + (ad − bc) 2 .
¸seklinde iki kare toplamıolarak yazılabilir.
Bazıasal sayılar iki kare toplamı¸seklinde yazılamazlar. Örne˘gin
3 = a 2 + b 2
e¸sitli˘gini sa˘glayan a, b tamsayılarıyoktur.
Teorem 13.2.2. 4k +3 formundaki asal sayılar iki kare toplamı¸seklinde yazılamazlar.
Kanıt. p = 4k + 3 = a 2 + b 2 olacak ¸sekilde a, b pozitif tamsayılarıvar olsun.
a ≡ 0, 1, 2, 3 (mod 4)
b ≡ 0, 1, 2, 3 (mod 4)
oldu˘gundan a 2 ≡ 0, 1 (mod 4), b 2 ≡ 0, 1 (mod 4) ve
olur. Buradan da
çeli¸skisi elde edilir.
a 2 + b 2 ≡ 0, 1, 2 (mod 4)
p ≡ 4 = 0, 1, 2 (mod 4)