Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 41
olur.
¸Simdi de p = 2 için 2 k sayısının kuadratik kalana sahip olmasıiçin gerek ve
yeter ¸sartıverelim.
Teorem 9.4.2. a tek tamsayıolsun. Bu durumda
(a) x 2 ≡ a (mod 2) kongrüansıher zaman çözüme sahiptir.
(b) x 2 ≡ a mod 2 2 kongrüansının çözümünün var olmasıiçin gerek ve yeter
¸sart a ≡ 1 (mod 4) olmasıdır.
(c) n ≥ 3 için x 2 ≡ a (mod 2 n ) kongrüansının çözümünün var olmasıiçin gerek
ve yeter ¸sart a ≡ 1 (mod 8) olmasıdır.
Kanıt. (a) A¸sikar.
(b) Herhangi bir tek sayının karesi (mod 4)’te 1’e denktir. Dolayısıyla x 2 ≡
a mod 2 2 kongrüansının çözümü varsa a ≡ 1 (mod 4) olmalıdır. a ≡ 1 (mod 4)
ise 1 ve 3 sayılarıx 2 ≡ a mod 2 2 kongrüansının çözümleridir.
(c) Herhangi bir tek sayının karesi (mod 8)’de 1’e denktir (2k + 1 ifadesinde
k sayısının tek ve çift olma durumu incelendi˘ginde görülür.). Dolayısıyla x 2 ≡
a (mod 2 n ) kongrüansının çözümü varsa , a ≡ 1 (mod 8) olmalıdır. ¸Simdi a ≡
1 (mod 8) iken x 2 ≡ a (mod 2 n ) kongrüansının çözümünün var oldu˘gunu n ≥ 3
üzerinden tümevarımla gösterelim.
n = 3 için, 1, 3, 5, 7 sayılarıx 2 ≡ a mod 2 3 kongrüansının çözümüdür.
n = k > 3 için x 2 ≡ a mod 2 k kongrüansının çözümü var ve bu çözüm x0
olsun.
n = k + 1 için x 2 ≡ a mod 2 k+1 kongrüansının çözümünün var oldu˘gunu
gösterelim. x 2 0 ≡ a mod 2 k oldu˘gundan x 2 0 = a + b2 k olacak ¸sekilde bir b ∈ Z
vardır. ¸Simdi
x0y ≡ −b (mod 2)
lineer kongrüansınıele alalım. (x0, 2) = 1 oldu˘gundan bu lineer kongrüansının
çözümü vardır ve bu çözüm y0 olsun (yani 2| (b + x0y0)). ¸Simdi de
x1 = x0 + y02 k−1
tamsayısınıele alalım. Bu sayının karesi
x 2 1 = x0 + y02 k−12 = x 2 0 + 2x0y02 k−1 + y 2 02 2k−2
= a + b2 k + x0y02 k + y 2 02 2k−2
= a + (b + x0y0) 2 k + y 2 02 2k−2
için, 2| (b + x0y0) ve 2 k+1 |y 2 02 2k−2 ( 2k−2 = k+1+(k − 3) ≥ k+1 ) oldu˘gundan
x 2 1 ≡ a mod 2 k+1
elde edilir ve böylece n = k + 1 için x 2 ≡ a mod 2 k+1 kongrüansının
çözümünün var oldu˘gu gösterilmi¸s olur.