Sayılar Teorisi II Ders Notları

More documents

Recommendations

Info

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 52 Teorem 11.3.5. p tek asal sayı ise Mp sayısının her q asal böleni için q ≡ ±1 (mod 8) dir. Kanıt. q, Mp sayısının asal böleni oldu˘gundan 2 p ≡ 1 (mod q) dir. Teorem 11.3.4’ten q = 2kp + 1 formundadır. Teorem 9.2.3 (c)’den (2/q) ≡ 2 q−1 2 ≡ 2 kp ≡ (2 p ) k ≡ 1 (mod q) ve Euler kriterinden (Teorem 9.1.3) (2/q) = 1 olur. Bu ise Teorem 9.2.10’dan q ≡ ±1 (mod 8) oldu˘gu anlamına gelir. Bu teoremlerin nasıl kullanıldı˘gınıgösteren bir örnek verelim. M17 sayısını ele alalım. 34k + 1 formunda olan ve 362 < √ M17 olan sayılarından asal olanlar 35, 69, 103, 137, 171, 205, 239, 273, 307, 341 103, 137, 239, 307 sayılarıdır. 307 = ±1 (mod 8) oldu˘gundan 307 sayısıM17’nin bir böleni de˘gildir. Di˘ger sayılarda bu ¸sartısa˘glamadı˘gından M17 sayısıasaldır. Mp sayısının asallı˘gınıtest etmek için Lucas-Lehmer testi kullanılmaktadır. Bu teste S1 = 4, Sk+1 = S 2 k − 2, k ≥ 1 dizisi kullanılır. p > 2 için Mp sayısının asal olması için gerek ve yeter ¸sart Sp−1 ≡ 0 (mod Mp) olması veya buna denk olarak Sp−2 ≡ ±2 p+1 2 (mod Mp) olmasıdır. Örne˘gin M7 = 2 7 − 1 = 127 sayısınıele alalım. S1 ≡ 4, S2 ≡ 14, S3 ≡ 67, S4 ≡ 42, S5 ≡ −16, S6 ≡ 0 (mod 127) oldu˘gundan M7 asaldır. Lehmer 1930 yılında hesap makinası yardımıyla 700 saatte S256 = 0 (mod 257) oldu˘gunu göstererek Mersenne’nin listesindeki en büyük sayı(78 basamaklı) olan M257 sayısının asal olma˘gınıhiçbir çarpanıbilinmenden ispatlamı¸stır. 1952 yılında aynı i¸slem bilgisayar yardımıyla sadece 68 saniye sürmü¸stür. 1979 yılında ise M257 sayısının en küçük asal çarpanıolan 535006138814359 sayısıbulunmu¸stur. A¸sa˘gıdaki listede ilk 41 Mersenne asalı, basamak sayısıve bulunma yılları ile birlikte verilmi¸stir.
BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 53 Mersenne Asalı Basamak Sayısı Bulunma Tarihi 1 2 2 − 1 1 Bilinmiyor 2 2 3 − 1 1 Bilinmiyor 3 2 5 − 1 2 Bilinmiyor 4 2 7 − 1 3 Bilinmiyor 5 2 13 − 1 4 1456 6 2 17 − 1 6 1588 7 2 19 − 1 6 1588 8 2 31 − 1 10 1772 9 2 61 − 1 19 1883 10 2 89 − 1 27 1911 11 2 107 − 1 33 1914 12 2 127 − 1 39 1876 13 2 521 − 1 157 1952 14 2 607 − 1 183 1952 15 2 1279 − 1 386 1952 16 2 2203 − 1 664 1952 17 2 2281 − 1 687 1952 18 2 3217 − 1 969 1957 19 2 4253 − 1 1281 1961 20 2 4423 − 1 1332 1961 21 2 9689 − 1 2917 1963 22 2 9941 − 1 2993 1963 23 2 11213 − 1 3376 1963 24 2 19937 − 1 6002 1971 25 2 21701 − 1 6533 1978 26 2 23209 − 1 6987 1978 27 2 44497 − 1 13395 1979 28 2 86243 − 1 25962 1983 29 2 110503 − 1 33265 1989 30 2 132049 − 1 39751 1983 31 2 216091 − 1 65050 1985 32 2 756839 − 1 227832 1992 33 2 859433 − 1 258716 1994 34 2 1257787 − 1 378632 1996 35 2 1398269 − 1 420921 1996 36 2 2976221 − 1 895932 1996 37 2 3021377 − 1 909526 1998 38 2 6972593 − 1 2098960 1999 39 2 13466917 − 1 4059346 2001 40 2 20996011 − 1 6320430 2003 41 2 24036583 − 1 7235733 2004 Birçok matematikçi Mersenne asallarının sonsuz tane oldu˘guna inanmaktadır. Fakat sonsuzlu˘gu veya sonlulu˘gu henüz ispatlanmamı¸stır.
Page 1 and 2:
Sayılar Teorisi II Ders Notları T
Page 3 and 4: Kısım I SAYILAR TEOR˙IS˙I II 1
Page 5 and 6: BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙IND
Page 25 and 26: BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KUR
Page 47 and 48: BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR
Page 53: BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR
Page 63 and 64: BÖLÜM 12. BAZI LINEER OLMAYAN DIO
Page 69 and 70: Bölüm 13 Tamsayıların Kare Topl
Page 71 and 72: BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLA
Page 83 and 84: Bölüm 15 Sürekli Kesirler 15.1 S
Page 85 and 86: BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 83 e
Page 87 and 88: BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 85 Ö
Page 89 and 90: BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 87 Ö
Page 91 and 92: BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 89 15
Page 93 and 94: BÖLÜM 15. SÜREKLI KESIRLER 91 ol
show all

Sayılar Teorisi II Ders Notları

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?