Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 14
oldu˘gundan φ (m) ve φ (n) sayılarıda çift sayıdır (Teorem 7.4). Böylece d ≥ 2
dir. Dolayısıyla φ fonksiyonu çarpımsal ve (m, n) = 1 oldu˘gundan
h =
φ (m) φ (n)
d
= φ (mn)
d
≤
φ (mn)
2
olur. Euler teoreminden a φ(m) ≡ 1 (mod m) oldu˘gundan
a h φ(m)φ(n)
≡ a ( d
elde edilir. Benzer ¸sekilde
) ≡ a (φ(m)) φ(n)
d ≡ 1 (mod m)
a h ≡ 1 (mod n)
oldu˘gu da gösterilir. (m, n) = 1 olması ah ≡ 1 (mod mn) olmasını gerektirir
ki bu denklik, mn ile aralarında asal olan sayıların, (mod mn)’ye göre mertebelerinin
φ(mn)
2 den büyük olamayaca˘gınıgösterir. Dolayısıyla m > 2, n > 2 ve
(m, n) = 1 olacak ¸sekildeki mn sayılarının ilkel kökleri yoktur.
Bu teoremin bazıözel durumlarınıa¸sa˘gıda özetleyelim.
Sonuç 8.3.3. n sayısı, iki tek asal sayıtarafından bölünüyorsa veya p tek asal
sayıve m ≥ 2 olmak üzere n = 2 m p k formunda ise n sayısının ilkel kökü yoktur.
Bu sonuç, ilkel köke sahip birle¸sik sayıların, p tek asal sayıolmak üzere sadece
2 2 , p k veya 2p k formunda olabilece˘gini göstermektedir. 1 ve 3 sayıları4 için ilkel
köküdür. ¸Simdi p tek asal sayıolmak üzere p k ve 2p k sayılarının ilkel köklerinin
var oldu˘gunu gösteren teoremleri gerekli olan yardımcıteoremlerle verelim.
YardımcıTeorem 8.3.4. p tek asal sayıise, p sayısının, r p−1 = 1 mod p 2
olacak ¸sekilde bir r ilkel kökü vardır.
Kanıt. Teorem 8.2.3’den p asal sayısının ilkel kökü oldu˘gunu biliyoruz. r sayısı,
p için bir ilkel kök olsun. r p−1 = 1 mod p 2 ise ispat biter. r p−1 ≡ 1 mod p 2
olsun. r ′ = r + p sayısıda p için bir ilkel kökdür (A¸sa˘gıdaki e¸sitlik (mod p)’ye
göre hesaplandı˘gında görülür).
(r ′ ) p−1 = (r + p) p−1
p − 1
= r
0
p−1
p − 1
+ r
1
p−2
p − 1
p + r
2
p−3 p 2
p − 1
· · · + p
p − 1
p−1
≡ r p−1 + (p − 1) r p−2 p mod p 2
≡ 1 − r p−2 p mod p 2
(8.6)
elde edilir. (r, p) = 1 oldu˘gundan p ∤ r ve p ∤ r p−2 dir. Yani p 2 ∤ r p−2 p ve
dolayısıyla 8.6 (r ′ ) p−1 = 1 mod p 2 elde edilir.
Sonuç 8.3.5. p tek asal sayıise p 2 sayısının ilkel kökü vardır. Aslında r sayısı, p
için bir ilkel kök ise ya r sayısıyada r + p sayısı(veya ikisi birden) p 2 için bir
ilkel köktür.