Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 48
dönemde bu hesaplama büyük olasılıkla roman rakamlarıve abaküs yardımıyla
yapılmı¸stır ( çünkü Arap sayısistemi XVI. yüzyılın sonlarına do˘gru tamamen
kullanılmaya ba¸slanmı¸stır.). Regius ayrıca p = 13 için 2 13 − 1 sayısının asal
oldu˘gunu göstermi¸s ve bu bize 5. mükemmel sayıolan
2 12 2 13 − 1 = 33550336
sayısınıverir.
Mükemel sayıların tespit edilmesindeki zorluklardan biride, asal sayılar
tablosunun olmamasıydı. 1603 yılında Pietro Cataldi 5150 den küçük bütün
asalların listesini yapmı¸s ve 2 17 − 1 sayısının asal oldu˘gunu tespit ederek altıncı
mükemmel sayıolarak
2 16 2 17 − 1
sayısınıvermi¸stir.
p asal sayı olmak üzere sonsuz tane 2 p − 1 tipinde asal sayının var olup
olmadı˘gıda halen açık bir problemdir.
¸Simdi çift mükemmel sayıların son basama˘gının 6 veya 8 oldu˘gunu gösteren
teoremi verelim.
Teorem 11.2.4. Her çift mükemmel sayısının son basama˘gı6 veya 8 dir. Denk
olarak n ≡ 6 (mod 10) veya n ≡ 8 (mod 10).
Kanıt. n çift mükemmel sayıoldu˘gundan Teorem 11.2.2’den 2 k − 1 asal olmak
üzere n = 2 k−1 2 k − 1 formundadır. Ayrıca Yardımcı Teorem 11.2.3’ten k
sayısıda asaldır. k = 2 için n = 6 dır ve idda do˘grudur. Dolayısıyla k > 2 olsun.
k asal sayıoldu˘gundan 4m + 1 veya 4m + 3 formundadır. Bu yüzden Teoremi
k = 4m + 1 ve k = 4m + 3 için ayrıayrıispatlayalım.
k = 4m + 1 olsun. Bu durumda
n = 2 4m 2 4m+1 − 1 = 2 8m+1 − 2 4m = 2.16 2m − 16 m
yazılabilir. Her t için 16 t ≡ 6 (mod 10) oldu˘gundan
elde edilir.
k = 4m + 3 olsun. Bu durumda ise
elde edilir.
n ≡ 2.6 − 6 ≡ 6 (mod 10)
n = 2 4m+2 2 4m+3 − 1 = 2 8m+5 − 2 4m+2 = 2.16 2m+1 − 4.16 m
≡ 2.6 − 4.6 ≡ −12 ≡ 8 (mod 10)
Biraz daha ileri gidelim ve çift mükemmel sayıların son basamaklarının 6
veya 28 oldu˘gunu gösterelim. Yani k = 4m + 3 ise n ≡ 28 (mod 100) oldu˘gunu
gösterelim. 2 k−1 için
2 k−1 = 2 4m+2 = 16 m .4 ≡ 6.4 ≡ 4 (mod 10)