Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 13. TAMSAYILARIN KARE TOPLAMLARI OLARAK GÖSTERIMLERI69
4k+1 formundaki asal sayılar ise iki kare toplamı¸seklinde yazılabilirler. Bunu
ispatlamak için Dirichlet’in ünlü güvercin yuvasıilkesini ve Norveçli matematikçi
Axel Thue’nin yardımcıteoremini verelim.
Güvercin Yuvası ˙Ilkesi : E˘ger n adet nesne m tane güvercin yuvasına
yerle¸stirilecekse ve n > m ise bazıyuvalar en az 2 nesne içerirler.
YardımcıTeorem 13.2.3 (Thue). p asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde bir
a sayısıverilsin. Bu durumda
kongrüansının,
olacak ¸sekilde bir x0, y0 çözümü vardır.
Kanıt. k = √ p + 1 olsun ve
ax ≡ y (mod p)
0 < |x0| < √ p ve 0 < |y0| < √ p
S = {ax − y : 0 ≤ x ≤ k − 1, 0 ≤ y ≤ k − 1}
kümesini ele alalım. ax−y sayısık 2 tane de˘ger alabiir. Ayrıca k 2 > p oldu˘gundan
güvercin yuvası ilkesinden S kümesi, (mod p) de denk olan en az iki elemana
sahiptir Bunlara ax1 − y1 veya ax2 − y2 diyelim ve x1 = x2 ve y1 = y2 dir.
Buradan
a (x1 − x2) ≡ y1 − y2 (mod p)
yazılabilir. x0 = x1 − x2 ve y0 = y1 − y2 yazılırsa x0, y0
ax ≡ y (mod p)
kongrüansının bir çözümü olur. x0 ve y0 sayılarından biri 0 ise (a, p) = 1 ¸sartı
di˘gerininde 0 olmasınıgerektirir. Buradan da
elde edilir.
0 < |x0| ≤ k − 1 < √ p ve 0 < |y0| ≤ k − 1 < √ p
¸Simdi 4k + 1 formundaki asal sayıların iki kare toplamı¸seklinde yazılabilece˘gini
ispatlayabiliriz. Bu teorem Fermat tarafından türetilmi¸stir. (Bu olguyu
Albert Girard Fermat’tan yıllar önce fark etti˘ginden bazen Girard teoremi olarak
ta adlandırılmaktadır.) Fermat, Mersenne’ye mektubunda (1640) bu teoremden
bahsetmi¸s ve çürütülemez bir ispatının oldu˘gunu söylemi¸stir. Fakat ilk basılıispat
1754 yılında Euler tarafından, iki kare toplamının tek türlülü˘gü de eklenerek
verilmi¸stir.
Teorem 13.2.4 (Fermat). p tek asalının iki kare toplamı¸seklinde yazılabilmesi
için gerek ve yeter ¸sart p ≡ 1 (mod 4) olmasıdır.