Create successful ePaper yourself
Turn your PDF publications into a flip-book with our unique Google optimized e-Paper software.
BÖLÜM 8. ˙ILKEL KÖKLER VE ˙INDEKSLER 6<br />
Örnek 8.1.9. n > 1 için Fn = 22n + 1 sayısı asal ise 2’nin Fn sayısının<br />
ilkel kökü olmadı˘gını gösterelim. Yani 2k ≡ 1 (mod Fn) olacak ¸sekilde bir<br />
k < φ 22n + 1 = 22n sayısıbulmalıyız.<br />
2 2n+1<br />
− 1 = 2 2n2 − 1 ≡<br />
<br />
2 2n 2 <br />
− 1 ≡ 2 2n<br />
<br />
− 1 2 2n<br />
<br />
+ 1 ≡ 0 (mod Fn)<br />
Yani 22n+1 ≡ 1 (mod Fn) olur. Bu durumda 2’nin (mod Fn)’ye göre mertebesi<br />
2n+1 ’den büyük olamaz. Tümevarımla n > 1 için 2n+1 < 22n oldu˘gu gösterilebilir.<br />
Dolayısıyla 2’nin (mod Fn)’ye göre mertebesi φ (Fn) olamaz ve 2, Fn<br />
sayısının ilkel kökü de˘gildir.<br />
Teorem 8.1.10. a1, a2, . . . , a φ(n) sayıları, n’den küçük pozitif sayılar ve<br />
(ai, n) = 1 olsun. a sayısı n’nin bir ilkel kökü ise a, a 2 , . . . , a φ(n) sayıları<br />
(mod n)’de a1, a2, . . . , a φ(n) sayılarına denktirler (sıradan ba˘gımsız olarak).<br />
Kanıt. Sonuç 8.1.4’de k = φ (n) alınır.<br />
Teorem 8.1.10 ve Teorem 8.1.5 kullanılarak, en az bir ilkel kökü olan n<br />
sayısının tam olarak kaç tane ilkel kökü oldu˘gu bulunabilir.<br />
Sonuç 8.1.11. n sayısının en az bir ilkel kökü var ise, n’nin φ (φ (n)) tane ilkel<br />
kökü vardır.<br />
Kanıt. 1 = a1, a2, . . . , aφ(n) = n − 1 sayıları n ile aralarında asal olan sayılar<br />
olsun. Dolayısıyla sadece bu sayıların (mod n)’ye göre mertebelerinden bahsedebiliriz.<br />
n’nin ilkel kökleri bunlardan bazılarıdır. a, n’nin ilkel kökü oldu˘gundan<br />
Teorem 8.1.10’ten a, a2 , . . . , aφ(n) sayıları(mod n)’de a1, a2, . . . , aφ(n) sayılarına<br />
denktirler. Yani n’nin ilkel kökleri a, a2 , . . . , aφ(n) sayılarından (mod n)’ye göre<br />
mertebesi φ (n) olanlardır. 1 ≤ h ≤ φ (n) olmak üzere ah sayısının (mod n)’ye<br />
φ(n)<br />
göre mertebesi Teorem 8.1.5’ten (h,φ(n)) olur. Bu sayının φ (n) olmasıiçin h ile<br />
φ (n) aralarında asal olmalıdır. 1 ≤ h ≤ φ (n) arasında φ (n) ile aralarında asal<br />
olanların sayısıφ (φ (n))’dir.<br />
Böylece en az bir ilkel kökü olan n sayısının tam olarak kaç tane ilkel<br />
kökü oldu˘gu Sonuç 8.1.11 yardımıyla, varsa di˘ger ilkel köklerinide Teorem 8.1.5<br />
yardımıyla bulabiliriz.<br />
Bu durumu ¸su ¸sekilde örneklendirelim. n = 9 için 2’nin ilkel kök oldu˘gunu<br />
söylemi¸stik. Dolayısıyla 9’un φ (φ (9)) = φ (6) = 2 tane ilkel kökü vardır. 2,<br />
9’un ilkel kökü oldu˘gundan 2 2 , 2 3 , . . . , 2 6 = 2 φ(9) sayılarından sadece bir tanesi<br />
9 için ilkel köktür. Bu da (h, φ (9)) = 1 ko¸sulunu sa˘glayan 2 h sayısıdır. (h, 6)<br />
= 1 ko¸sulu sadece h = 5 için sa˘glandı˘gından 2 5 ≡ 5 (mod 9) yani 5, 9 için ilkel<br />
köktür.
Change language