Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 9. KUADRATIK KAR¸SILIK KURALI 24
Buradan görüldü˘gü üzere p’nin kuadratik kalanları 1, 3, 4, 9, 10, 12 sayıları ve
kuadratik kalan olmayanlar ise 2, 5, 6, 7, 8, 11 sayılarıdır. dikkat edilirde 1 ve
12 arasındaki sayılar yarıyarıya kuadratik kalan olanlar ve olmayanlar olarak
ayrılmı¸slardır.
Teorem 9.1.3 (Euler Kriteri). p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a
sayısıverilsin. a sayısının, p’nin kuadratik kalanıolmasıiçin gerek ve yeter ¸sart
a p−1
2 ≡ 1 (mod p) olmasıdır.
Kanıt. =⇒ : a sayısı, p’nin kuadratik kalanıolsun. Burumda x 2 ≡ a (mod p)
kongrüansının bir çözümü vardır ve bu çözüm x1 olsun. (a, p) = 1 olması,
x 2 1, p = 1 olmasını ve dolayısıyla da (x1, p) = 1 olmasını gerektirir. Fermat
teoremi yardımıyla
elde edilir.
a p−1
2 ≡ x 2 1
p−1
2 p−1
≡ x1 ≡ 1 (mod p)
⇐= : a p−1
2 ≡ 1 (mod p) olsun. r sayısı, p’nin bir ilkel kökü olmak üzere a ≡
r k (mod p) olacak ¸sekilde bir k (1 ≤ k ≤ p − 1) sayısıvardır. Bu durumda
p−1
k
r 2 ≡ a p−1
2 ≡ 1 (mod p)
olur. Teorem 8.1.2’den r’nin (mod p)’ye göre mertebesi olan p − 1, k p−1
2 sayısını
böler. Bu durumda k çift sayıdır (k = 2j). Böylece
r j 2 ≡ r 2j ≡ r k ≡ a (mod p)
ifadesinden r j sayısının, x 2 ≡ a (mod p) kongrüansının bir çözümü oldu˘gu
görülür. Yani a sayısı, p’nin bir kuadratik kalanıdır.
p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekildeki a sayısıiçin a sayısıp asalının ya
kuadratik kalanıdır ya da de˘gildir. Kuadratik kalan oldu˘gunda a 9−1
2 ≡ 1 (mod p)
idi. ¸Simdi de kuadratik kalan olmadı˘gında (mod p)’de a 9−1
2 de˘gerini bulalım.
Fermat teoreminden
a p−1
2 − 1 a p−1
2 + 1 = a p−1 − 1 ≡ 0 (mod p)
elde edilir. Bu durumda ya
yada
a p−1
2 ≡ 1 (mod p) (9.5)
a p−1
2 ≡ −1 (mod p) (9.6)
olur. Fakat ikisi aynı anda sa˘glanmaz (E˘ger ikisi aynı anda sa˘glansaydı 1 ≡
−1 (mod p) yani p|2 olurdu buda p’nin tek asal olmasıile çeli¸sirdi.). p sayısının
kuadratik kalanları(9.5) kongrüansınısa˘gladı˘gından, di˘gerleri yani p sayısının
kuadratik kalan olmayanlar (9.6) kongrüansınısa˘glar. Böylece Euler kriteri ¸su
¸sekilde de ifade edilebilir : p tek asal sayısıve (a, p) = 1 olacak ¸sekilde a sayısı
verilsin. a sayısının, p’nin kuadratik kalanı olmaması için gerek ve yeter ¸sart
a p−1
2 ≡ −1 (mod p) olmasıdır.