Sayılar Teorisi II Ders Notları

BÖLÜM 11. ÖZEL FORMDAKI SAYILAR 50
11.3 Mersenne Asalları
n ≥ 1 olmak üzere
Mn = 2 n − 1
¸seklindeki sayılara Mersenne sayıları denir. Bu isim Father Marin Mersenne
adına itaf edilmi¸stir. Bu sayılardan asal olanlara da Mersenne asalıdenir. Kısım
11.2’de 2 n − 1 asal ise n sayısının da asal oldu˘gunu görmü¸stük.
Mersenne, Cogitata Physica-Mathematica (1664) adlıeserinin önsözünde Mp
sayılarının, p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 asal sayılarıiçin asal, p < 257
olan di˘ger asal sayılar için ise birle¸sik sayı oldu˘gunu ifade etmi¸stir. Fakat bu
sayıların asal veya birle¸sik sayı olup olmadıklarının test edilip edilme˘gi bilinmemekteydi.
1772 yılında Euler M31 sayısının asallı˘gını 46339 tane olası
bölenini kullanarak do˘grulamı¸stır. Böylece sekizinci mükemmel sayıolan
P8 = 2 30 2 31 − 1 = 2305843008139952128
tespit edilmi¸stir.
1947 yılına kadar 257 den küçük olan 55 tane asal p sayısıiçin Mp Mersenne
sayılarının asallı˘gının tespiti tamamlandıktan sonra, biliyoruz ki Mersenne be¸s
tane hata yapmı¸stır. Mersenne’nin listesindeki M67 ve M257 sayılarıasal de˘gil
fakat listede olmayan M61, M89 ve M107 sayılarıasaldır.
Bazı özel tipteki Mersenne sayılarının asal olup olmadıklarının tespiti için
çe¸sitli yöntemler vardır.
Teorem 11.3.1. p ve q = 2p + 1 asal sayılar ise ya q|Mp yada q|Mp + 2.
Kanıt. Fermat teoreminden
2 q−1 − 1 ≡ 0 (mod q)
oldu˘gunu biliyoruz. Sol tarafıçarpanlara ayırırsak
2 q−1
2 + 1 = (2 p − 1) (2 p + 1)
2 q−1
2 − 1
= Mp (Mp + 2)
≡ 0 (mod q)
olur. Bu durumda q asal oldu˘gundan q|Mp veya q|Mp + 2 olur. Fakat her ikiside
olursa q|2 çeli¸ski elde edildi˘ginden, ya q|Mp ya da q|Mp+2 olmak zorundadır.
Teorem 11.3.1’i ¸su ¸sekilde örneklendirelim. p = 23 için q = 2p + 1 = 47 sayısı
da asaldır. Dolayısıyla Teorem 11.3.1’den ya 47|M23 yada 47|M23 + 2 dir.
dir. Fakat
2 23 = 2 3 2 5 4 ≡ 2 3 (−15) 4 (mod 47)
(−15) 4 = 225 2 ≡ (−10) 2 ≡ 6 (mod 47)